Определить основные характеристики монохроматического электромагнитного поля, существующего в плоском диэлектрическом волноводе (световоде), отображенном на рис. 2.1.
767715-38735Рис. 2.1 Параметры световода
Параметры световода: εr1=2,4; εr2=1,1; λ=1,5мкм; Pср1=15мВт.
Известны комплексные амплитуды двух составляющих (проекций) векторов поля в средах 1 и 2 при x≥0:
Hzm1=Acosγxe−iβZ;
Hzm2=Be−αXe−iβZ;
Ezm1=Ezm2=0.
Требуется:
1) Определить комплексные амплитуды всех остальных, не заданных в условии задачи, составляющих векторов поля в средах 1 и 2 при x≥0;
2) используя граничные условия при x=h, получить трансцендентное уравнение, связывающее между собой волновые числа γиα в средах 1 и 2;
3) определить минимальную и максимальную толщины световода, при которых по нему будут распространяться волны только низшего типа;
4) для средней толщины световода рассчитать параметры волны низшего типа;
5) определить величины A и B, входящие в выражения для составляющих полей, построить зависимости всех составляющих полей для волны низшего типа от координаты x. Пределы изменения x: -∞...+∞;
6) изобразить структуру векторных линий для полейEиHосновной волны световода в поперечном сечении.
Решение
Задано:
Hzm1=Acosγxe−iβZ;(2.1)
Hzm2=Be−αxe−iβZ;(2.2)
Ezm1=Ezm2=0.(2.3)
Уравнения Максвелла для монохроматического электромагнитного поля в декартовой системе координат имеют вид:
∂Hzm∂y+iβHym=iωεaExm;(2.4)
−∂Hzm∂x−iβHxm=iωεaEym;(2.5)
∂Hym∂x−∂Hxm∂y=iωεaEzm;(2.6)
∂Ezm∂y+iβEym=−iωμaHxm;(2.7)
∂Ezm∂x+iβExm=iωμaHym;(2.8)
∂Eym∂x−∂Exm∂y=−iωμaHzm.(2.9)
C учетом (2.3) и того, что в плоском диэлектрическом волноводе, лежащем в плоскости YZ (рис. 2.1), все производные по y должны быть равны нулю уравнения (2.4)-(2.9 ) принимают вид:
βHym=ωεaExm;(2.10)
−∂Hzm∂x−iβHxm=iωεaEym;(2.11)
∂Hym∂x=0;(2.12)
βEym=−ωμaHxm;(2.13)
βExm=ωμaHym;(2.14)
∂Eym∂x=−iωμaHzm.(2.15)
Из (2.12) следует, что
Hym=0.(2.16)
Из (2.10) с учетом (2.16) получаем
Exm=0.(2.17)
Из совместного решения (2.11) и (2.13) получаем
Hxm=iββ2−ω2μaεa⋅∂Hzm∂x;(2.18)
Eym=iωμaω2μaεa−β2⋅∂Hzm∂x.(2.19)
Для дальнейших расчетов выпишем известные соотношения:
γ2=ω2μ0ε0εr1−β2;(2.20)
α2=β2−ω2μ0ε0εr2.(2.21)
Запишем проекции поля в первой среде, приняв εa=ε0εr1, μa=μ0, с учетом (2.1), (2.3) и (2.16)-(2.20):
Exm1=0;(2.22)
Eym1=iωμ0ω2μ0ε0εr1−β2⋅∂Hzm∂x=iωμ0γβ2−ω2μ0ε0εr1⋅Asinγxe−iβZ=
=−iωμ0γ⋅Asinγxe−iβZ;(2.23)
Ezm1=0;
Hxm1=iββ2−ω2μ0ε0εr1⋅∂Hzm∂x=iβγω2μ0ε0εr1−β2⋅Asinγxe−iβZ=
=iβγ⋅Asinγxe−iβZ;(2.24)
Hym1=0;(2.25)
Hzm1=Acosγxe−iβZ.
Запишем проекции поля во второй среде, приняв εa=ε0εr2, μa=μ0, с учетом (2.2), (2.3) и (2.16)-(2.19), (2.21):
Exm2=0;(2.26)
Eym2=iωμ0ω2μ0ε0εr2−β2⋅∂Hzm∂x=iωμ0αβ2−ω2μ0ε0εr2⋅Be−αxe−iβZ=iωμ0α⋅Be−αxe−iβZ(2.27)
Ezm2=0;
Hxm2=iββ2−ω2μ0ε0εr2⋅∂Hzm∂x=iβαω2μ0ε0εr2−β2⋅Be−αxe−iβZ=−iβα⋅Be−αxe−iβZ;(2.28)
Hym2=0;(2.29)
Hzm2=Be−αxe−iβZ.
2) Граничные условия для EиH требуют равенства их касательных составляющих, то есть:
Eym1x=h=Eym2x=h;(2.30)
Ezm1x=h=Ezm2x=h;
Hym1x=h=Hym2x=h;
Hzm1x=h=Hzm2x=h.(2.31)
Из (2.30), (2.23) и (2.27) получим
1α⋅Be−αh=−1γ⋅Asinγh.(2.32)
Из (2.31), (2.1) и (2.2) получимBe−αh=Acosγh.(2.33)
Подстав (2.33) в (2.32), получим 1α⋅cosγh=−1γ⋅sinγhили
α=−γсtgγh(2.34)
(2.34) является трансцендентным уравнением, связывающим между собой волновые числа γиα в средах 1 и 2.
3) Для определения минимальной и максимальной толщин световода, при которых по нему будут распространяться волны только низшего типа, воспользуемся (2.20), (2.21) и (2.34).
Сложив (2.20) и (2.21) с учетом того, что k=ωμ0ε0=2πλполучим:
α2+y2=2π2λ2εr1−εr2или
α2+y2=4,78⋅1062(2.35)
В координатах γиα (2.35) представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 4,78⋅1061м=4,781мкм.
Результат построения графиков (2.34) и (2.35) для некоторого значения h в координатах γиαв области положительных значений обоих координат представлен на рис.2.2.
Наличие двух и более точек пересечения графиков (2.34) и (2.35) свидетельствует о том, что в световоде распространяются несколько типов волн, для одноволнового режима с присутствием только волны низшего типа точка пересечения должна быть только одна (как показано на рис
. 2.2).
Как видно из рис.2.2 одной точке пересечения соответствуют такие значения h, при которых первое пересечение (2.34) с осью абсцисс находится в точке или левее точки пересечения с осью абсцисс окружности (2.35) (y=4,781мкм), при этом вторая точка пересечения (2.34) с осью абсцисс находится правее точки пересечения с осью абсцисс окружности (2.35)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
