Определить область сходимости данного степенного ряда

An=x+1n4n2+1
an+1=x+1n+14n+12+1=x+1n+14n2+2n+1+1=x+1n+14n2+8n+4+1=x+1n+14n2+8n+5
Находим R:
limn→∞an+1an=limn→∞x+1n+14n2+8n+5x+1n4n2+1=limn→∞x+1n+14n2+1x+1n4n2+8n+5=limn→∞x+1n*x+1*4n2+1x+1n4n2+8n+5=limn→∞x+1*4n2+14n2+8n+5=x+1*limn→∞n+24*n+1=x+1*limn→∞4n2+14n2+8n+5=∞∞=x+1*limn→∞4n2n2+1n24n2n2+8nn2+5n2=x+1*limn→∞4+1n2→04+8n→0+5n2→0=x+1*1
Значит область сходимости
x+1<1
-1<x+1<1
-1-1<x<1-1
-2<x<0
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=0; n=1∞0+1n4n2+1=n=1∞14n2+1
Используем первый признак сравнения .
Сравним данный ряд с рядом n=1∞1n2, который сходится
limn→∞anbn=limn→∞14n2+11n2=limn→∞n24n2+1=∞∞=limn→∞n2n24n2n2+1n2=limn→∞14+1n2→0=14
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом  n=1∞1n2.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-2; n=1∞-2+1n4n2+1=n=1∞-1n4n2+1
Используем признак Лейбница:
1) n=1∞-1n4n2+1=-15+117-137+…
Данный ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→∞14n2+1=0
то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: an+1<an, а это означает, что убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞14n2+1Используем первый признак сравнения