Определить какие ряды сходятся n=1∞n25n2+1

А) n=1∞n25n2+1
limn→∞an=limn→∞n25n2+1=∞∞=limn→∞n2n25n2n2+1n2=limn→∞15+1n2→0=15≠0
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
б) n=1∞nn3+1
Используем первый признак сравнения.
Сравним данный ряд с рядом n=1∞1n2, который сходится
limn→∞anbn=limn→∞nn3+11n2=limn→∞n*n2n3+1=limn→∞n3n3+1=∞∞=limn→∞n3n3n3n3+1n3=limn→∞11+1n3→0=1
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом  n=1∞1n2.
в) n=1∞n+32n+1n
Используем радикальный признак сходимости Коши:
limn→∞nan=limn→∞nn+32n+1n=limn→∞n+32n+1=∞∞=limn→∞nn+3n2nn+1n=limn→∞1+3n→02+1n→0=12<1
Следовательно, ряд сходится
г) n=1∞3n+1n!
an=3n+1n!
an+1=3n+1+1n+1!=3n+3+1n+1!=3n+4n+1!
Используем признак сходимости Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞3n+4n+1!3n+1n!=limn→∞3n+4n!3n+1n+1!=limn→∞3n+4n!3n+1n+1n!=limn→∞3n+43n2+4n+1=∞∞=limn→∞3nn2+4n23n2n2+4nn2+1n2=limn→∞3n→0+4n2→03+4n→0+1n2→0=0<1
Следовательно, ряд сходится.
Ответ: 2