Определить экстремаль 01x12+x22+2x1x2dt;x10=x20=0;x11=x21=sh1

Записываем систему уравнений Эйлера.
Fx1-ddtFx1=0Fx2-ddtFx2=0
Имеем:
F=x12+x22+2x1x2
Fx1=2x1;Fx1=2x2;ddtFx1=2x2
Fx2=2x2;Fx2=2x1;ddtFx2=2x1
Получаем:
2x1-2x2=02x2-2x1=0
Или:
x2=x1x1=x2
Сводим к однородному уравнению относительно x1:
x1=x1(4)
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
1=k4
k2-1k2+1=0
k1,2=±1
k3,4=±i
Получаем общее решение:
x1=c1et+c2e-t+c3cost+c4sint
Тогда:
x2=x1=c1et+c2e-t-c3cost-c4sint
Коэффициенты определяем из условий x10=x20=0,x11=x21=sh1:
0=c1+c2+c30=c1+c2-c3sh1=c1e+c2e-1+c3cos1+c4sin1sh1=c1e+c2e-1-c3cos1-c4sin1
Вычитая из второго первое уравнение получаем c3=0, а из четвертого вычитая третье получаем c4=0