1. Определить для заданного варианта токи во всех ветвях цепи, приведенной на рис. 1, если известны ЭДС и сопротивления ветвей. Значения ЭДС в таблице 1 приведены в вольтах, сопротивления резисторов – в Омах.
Расчет провести:
а) методом непосредственного применения правил Кирхгофа;
б) методом контурных токов;
в) определить ток ветви с номером k методом эквивалентного генератора для трех значений сопротивления Rk=0;0,5∙Rk; Rk.
2. Проверить правильность расчета с помощью уравнения баланса мощностей.
Таблица 1.
Вар. R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14 R15 R16 E1 E2 E5 E9 E12 E15 E16 k
22 10 ∞ 15 10 ∞ 4 25 12 35 6 22 15 17 8 ∞ 15 11 16 10 48 11 16 19 3
Рис. 1
Решение
По исходным данным чертим расчетную схему (рис. 2).
Рис. 2
В рассматриваемой схеме (рис. 2) пять узлов (y=5) и восемь ветвей с неизвестными токами (b=8). Для определения восьми неизвестных токов необходимо составить по законам Кирхгофа систему из восьми уравнений.
По первому закону Кирхгофа следует составить y-1=4 уравнения. По второму закону Кирхгофа следует составить b-(y-1)=4 уравнения для четырех независимых контуров. Зададимся направлениями токов в схеме, обозначим узлы, определим независимые контуры и направления обхода (рис. 2). Запишем уравнения по законам Кирхгофа:
-I1+I2+I4-I6=0aI6-I7-I8=0bI3-I5+I8=0cI1-I2-I3=0dI1R1+R3+R4+I2R7=E1I-I2R7+I3R6+R8+I4R10+I5R12=E12II-I4R10-I6R9-I7R11+R14=-E9III-I5R12+I7R11+R14-I8R13+R16=-E12+E16IV
Подставляем исходные данные и упрощаем систему:
-I1+I2+I4-I6=0I6-I7-I8=0I3-I5+I8=0I1-I2-I3=0I110+15+10+25I2=11-25I2+I34+12+6I4+15I5=11-6I4-35I6-I722+8=-48-15I5+I722+8-I817+15=-11+19
-I1+I2+I4-I6=0I6-I7-I8=0I3-I5+I8=0I1-I2-I3=035I1+25I2=11-25I2+16I3+6I4+15I5=11-6I4-35I6-30I7=-48-15I5+30I7-32I8=8
Представим полученную систему в матричной форме:
-11010-100000001-1-10010-10011-1-10000035250000000-2516615000000-60-35-3000000-15030-32∙I1I2I3I4I5I6I7I8=00001111-488
Решая полученную систему в математическом пакете Mathcad, получаем следующие значения токов:
I1=0,257 А
I2=0,08 А
I3=0,177 А
I4=0,898 А
I5=0,319 А
I6=0,721 А
I7=0,579 А
I8=0,143 А
Определим токи в ветвях методом контурных токов. Зададимся направлениями контурных токов (I1.1, I2.2, I3.3, I4.4) в независимых контурах схемы (рис. 3).
Рис. 3
Для определения четырех неизвестных контурных токов необходимо составить по второму закону Кирхгофа систему из четырех уравнений:
R1.1I1.1-R1.2I2.2-R1.3I3.3-R1.4I4.4=E1.1-R2.1I1.1+R2.2I2.2-R2.3I3.3-R2.4I4.4=E2.2-R3.1I1.1-R3.2I2.2+R3.3I3.3-R3.4I4.4=E3.3-R4.1I1.1-R4.2I2.2-R4.3I3.3+R4.4I4.4=E4.4
Определяем собственные (контурные) сопротивления контуров:
R1.1=R1+R3+R4+R7=10+15+10+25=60 Ом
R2.2=R6+R7+R8+R10+R12=4+25+12+6+15=62 Ом
R3.3=R9+R10+R11+R14=35+6+22+8=71 Ом
R4.4=R11+R12+R13+R14+R16=22+15+17+8+15=77 Ом
Определяем общие сопротивления контуров:
R1.2=R2.1=R7=25 Ом
R1.3=R3.1=0
R1.4=R4.1=0
R2.3=R3.2=R10=6 Ом
R2.4=R4.2=R12=15 Ом
R3.4=R4.3=R11+R14=22+8=30 Ом
Определяем алгебраические суммы ЭДС контуров:
E1.1=E1=11 В
E2.2=E12=11 В
E3.3=-E9=-48 В
E4.4=-E12+E16=-11+19=8 В
Подставим найденные значения в составленную ранее систему уравнений:
60I1.1-25I2.2-0I3.3-0I4.4=11-25I1.1+62I2.2-6I3.3-15I4.4=11-0I1.1-6I2.2+71I3.3-30I4.4=-48-0I1.1-15I2.2-30I3.3+77I4.4=8
Представим полученную систему в матричной форме:
60-2500-2562-6-150-671-300-15-3077∙I1.1I2.2I3.3I4.4=1111-488
Решая полученную систему в математическом пакете Mathcad, получаем следующие значения контурных токов:
I1.1=0,257 А
I2.2=0,177 А
I3.3=-0,721 А
I4.4=-0,143 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=I1.1=0,257 А
I2=I1.1-I2.2=0,257-0,177=0,08 А
I3=I2.2=0,177 А
I4=I2.2-I3.3=0,177--0,721=0,898 А
I5=I2.2-I4.4=0,177--0,143=0,319 А
I6=-I3.3=--0,721=0,721 А
I7=-I3.3+I4.4=--0,721-0,143=0,579 А
I8=-I4.4=--0,143=0,143 А
Рассчитаем ток I1 в ветви с R3 методом эквивалентного генератора
. Отключим в схеме ветвь с сопротивлением R3 от зажимов mn и определим напряжение холостого хода Uabхх (рис. 4).
Рис. 4
Запишем уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура I:
Umnхх+I2'R7=E1, откуда
Umnхх=E1-I2'R7
Для определения I2' рассчитываем полученную схему методом контурных токов. Для определения трех неизвестных контурных токов необходимо составить по второму закону Кирхгофа систему из трех уравнений:
R2.2I2.2-R2.3I3.3-R2.4I4.4=E2.2-R3.2I2.2+R3.3I3.3-R3.4I4.4=E3.3-R4.2I2.2-R4.3I3.3+R4.4I4.4=E4.4
Определяем собственные (контурные) сопротивления контуров:
R2.2=R6+R7+R8+R10+R12=4+25+12+6+15=62 Ом
R3.3=R9+R10+R11+R14=35+6+22+8=71 Ом
R4.4=R11+R12+R13+R14+R16=22+15+17+8+15=77 Ом
Определяем общие сопротивления контуров:
R2.3=R3.2=R10=6 Ом
R2.4=R4.2=R12=15 Ом
R3.4=R4.3=R11+R14=22+8=30 Ом
Определяем алгебраические суммы ЭДС контуров:
E2.2=E12=11 В
E3.3=-E9=-48 В
E4.4=-E12+E16=-11+19=8 В
Подставим найденные значения в составленную ранее систему уравнений:
62I2.2-6I3.3-15I4.4=11-6I2.2+71I3.3-30I4.4=-48-15I2.2-30I3.3+77I4.4=8
Представим полученную систему в матричной форме:
62-6-15-671-30-15-3077∙I2.2I3.3I4.4=11-488
Решая полученную систему в математическом пакете Mathcad, получаем следующие значения контурных токов:
I2.2=0,063 А
I3.3=-0,744 А
I4.4=-0,174 А
Выразим ток I2' через контурные токи:
I2=-I2.2=-0,063 А
Зная ток I2', вычисляем Umnхх:
Umnхх=E1-I2'R7=11--0,063∙25=12,585 В
Из предыдущей схемы удаляем все источники, оставив их внутренние сопротивления