Определить типы дифференциальных уравнений первого порядка и решить их

Преобразуем исходное уравнение (разделим на x2≠0):
3-y2x2 y'=2yx⟹ y'=2yx3-y2x2
Получили уравнение видаy'=fy/x– однородное уравнение.
Сделаем подстановку
yx=ux
где ux– новая неизвестная функция . Тогда,
y=u∙x; y'=u'x+u,
и уравнение приводится к виду
u'x+u=2u3-u2
u'=u3-u3-u2∙1x
т.е. к уравнению с разделяющимися переменными.
Разделяем переменные:
3-u2u3-udu=dxx
Интегрируя обе части, получаем:
3-u2u3-udu=dxx
Разложим дробь на простейшие
3-u2u3-u=3-u2uu-1u+1=Au+Bu-1+Cu+1=Au2-1+Buu+1+Cuu-1uu-1u+1⟹
⟹u=0: 3=-Au=1: 2=2Bu=-1: 2=2C⟹A=-3;B=1;C=1.
-3duu+du-1u-1+du+1u+1=dxx
-3lnu+lnu-1+lnu+1=lnx+lnC
lnu-3∙u-1u+1=lnCx
u2-1u3=Cx
Заменяя u на y/x, получаем общий интеграл заданного уравнения
y/x2-1y/x3=Cx
y2-x2y3=C
Ответ: y2-x2y3=C.