Определить область сходимости ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости

Для определения области сходимости ряда используем признак Даламбера:
un=xnn(n+1) un+1=xn+1(n+1)(n+2)=x∙xn(n+1)(n+2)
limn→∞un+1un=limn→∞x∙xn(n+1)(n+2)∙n(n+1)xn=x∙limn→∞nn+2=
=x∙limn→∞1-2n+2=x
Функциональный ряд будет сходиться при x<1
-1<x<1
Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:
x=1
n=1∞xnn(n+1)=n=1∞1n(n+1)=n=1∞1n2+n
1n2+n<1n2 =>
Исходный ряд сходится как и обобщенно гармонический с показателем степени k=2
x=-1
n=1∞xnn(n+1)=n=1∞(-1)nn(n+1)
Ряд составленный из модулей данного ряда сходится по доказанному ранее, поэтому данный ряд сходится абсолютно
Таким образом, область сходимости исходного функционального ряда:
-1≤x≤1
Для любого значения x≠2 не выполняется необходимый признак сходимости ряда, а именно:
limn→∞2n2(x+2)n2≠0
При x=2 ряд состоит из нулевых членов и его сумма равна нулю.
Таким образом, область сходимости ряда: x=2