Определить набор товаров потребителя

Составим математическую модель задачи:
Ux1,x2=x128∙x168→max
12x1+11x2=1056
Это задача нелинейного программирования (задача на условный экстремум). Поскольку функции полезности определимы лишь с точностью до монотонного преобразования, удобно прологарифмировать функцию полезности и работать далее с функцией:
Vx1,x2=lnUx1,x2=lnx128∙x168=14lnx1+34lnx2
Получили следующую задачу:
Vx1,x2=14lnx1+34lnx2→max
12x1+11x2=1056
Составим функцию Лагранжа:
Lx1.x2,λ=14lnx1+34lnx2+λ1056-12x1-11x2
Исследуем полученную функцию на безусловный экстремум . Найдем частные производные:
∂L∂x1=14x1-12λ
∂L∂x2=34x2-11λ
∂L∂λ=1056-12x1-11x2
Составим систему:
14x1-12λ=034x2-11λ=01056-12x1-11x2=0
λ=148x134x2-1148x1=01056-12x1-11x2=0 λ=148x136x1-11x248x1x2=01056-12x1-11x2=0
36x1-11x2=012x1+11x2=1056
Сложим оба уравнения:
48x1=105612x1+11x2=1056 x1=22x2=72
Получили стационарную точку M(22;72)