Определить интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах

An=xnnn+1
an+1=xn+1n+1n+1+1=xn+1n+1n+2
Находим R:
R=limn→∞an+1an=limn→∞xn+1n+1n+2xnnn+1=limn→∞xn+1*nn+1n+1n+2*xn=limn→∞xn*x*nn+1n+1n+2*xn=limn→∞x*nn+1n+1n+2=xlimn→∞nn+1n+1n+2=xlimn→∞n2+nn2+3n+2=∞∞=xlimn→∞n2n2+nn2n2n2+3nn2+2n2=xlimn→∞1+1n→01+3n→0+2n2→0=x*1
Значит область сходимости
-1<x<1
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=1; n=1∞1nnn+1=n=1∞1nn+1
Сравним данный с по предельному признаку сравнения со сходящимся рядом n=1∞1n2
limn→∞bnan=limn→∞1n21nn+1=limn→∞nn+1n2=limn→∞n2+nn2=∞∞=limn→∞n2n2+nn2n2n2=limn→∞1+1n→01=1≠0≠∞
Получено конечное число, отличное от нуля,  значит, ряд n=1∞1nn+1 сходится вместе с рядом n=1∞1n2.
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=-1; n=1∞-1nnn+1
Используем признак Лейбница.
1) n=1∞-1nnn+1=-12+16-112+…
Ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→+∞1nn+1=0члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1nn+1
Выше мы доказали, что данный ряд сходится.
Значит, границы включаются в область сходимости
-1≤x≤1