Определим момент Мз в заделке из условия равновесия вала
Мz=0; Мз – M1 +M2 – M3 +M4 = 0,
реактивный момент равен
Мз = M1 -M2 + M3 -M4 = 0,1 кНм
Далее разбиваем вал на участки и, используя метод сечений, определяем крутящие моменты в каждом из них. Слева от сечения, проведенного на первом участке, действует только один реактивный момент МА, причем, если смотреть на вал слева, он поворачивает рассматриваемую часть по ходу часовой стрелки.
Мz=0;Mк4 =-Мз=-0,1 кНм
Мz=0;Mк3 =-Мз-М4=-0,45 кНм
Мz=0;Mк2 =-Мз-М4+М1=-0,2кНм
Мz=0;Mк1 =-М3=-0,65 кНм
\ Подбираем диаметры вала из условий прочности и жесткости.
Условие прочности при кручении
τmax=Mк maxWp≤τ,
где Wp – полярный момент сопротивления поперечного сечения.
Wp=Mк maxτ=650100∙106=6,5∙10-6м3
Для вала круглого сечения
Сечение 1
Wp=π∙d316=6,5∙10-6м3→d=32,5 мм
Сечение 2
Для прямоугольных сечений, когда h > b, значение момента сопротивления крутящему моменту и момента инерции при кручении можно определить по следующим формулам:
Wk = αhb2
Ik = βhb3
где приближенные значения безразмерных коэффициентов α и β можно определить по следующей таблице:
Таблица 1. Значения коэффициентов α, β и γ для прямоугольных сечений.
Коэффициент γ позволяет определить значение касательных напряжений в некоторой точке С - крайней точке поперечного сечения, через которую проходит ось у
Для h/b=1,4 β=0,187
Ik = βhb3 =0,187·1,4b·b3 =0,262 b4
Wk = αhb2 =0,228·1,4b·b2 =0,319 b3
0,319∙b3=6,5∙10-6м3→b=27,3 мм
h=1,4∙b=38,2 мм
Сечение 3
Для вала кольцевого поперечного сечения полярный момент инерции равен
Wp=π∙(d)3161-c4=π∙d316∙1-0,44
c=dD=0,6
π∙d316∙1-0,44=6,5∙10-6→d=33,6 мм
Наиболее эффективен вал кольцевого поперечного сечения
Угол поворота определяется на основе соотношения
φi=Mi∙liG∙Jρi
Полярный момент инерции кольцевого поперечного сечения вала равен
Jρ=π∙d432·1-α4=π∙0,0336432·1-0,64=1,089∙10-7м4
Жесткость вала на кручение равна
G∙Jρк=8∙1010∙1,089∙10-7=8712 Н∙м2
φ1=-100∙0,38712= -0,0034 рад
φ2=-450∙0,458712=-0,0232 рад
φ3=-200∙0,78712=-0,0161 рад
φ4=-650∙0,258712=-0,0186 рад
φ(0)=0
φ(0,3)=-0,0034 рад
φ(0,75)=-0,0267 рад
φ0,95=-0,0428 рад
φ1,6=-0,0614 рад
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Определяем реакции опор. Для этого изобразим реакции на расчетной схеме и составляем условия равновесия балки для моментов относительно опор:
mAFk=0; RB∙5,5-P1∙7,2-q∙5,522+M1-M2=0;
RB=P1∙7,2+q∙5,522-M1+M25,5=71,2кН;
mBFk=0; RA∙5,5+P1∙1,7-q∙5,522-M1+M2=0;
RA=-P1∙1,7+q∙5,522+M1-M25,5=33,3 кН
Выполним проверку, составив условие равновесия балки
Fky=0; -P1-q∙5,5+RA+RB=-22-15∙5,5+71,2+33,3=0;
Так как условие равновесия выполняется, реакции определены верно
Участок I: z1 ∈0;5,5м.
В пределах участка проводим плоскость, перпендикулярную оси балки, отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие оставшейся левой части
Qz1=RA-q∙z1
Поперечная сила на первом участке является линейной функцией координаты z, для построения эпюры на этом участке вычислим координаты двух точек
Q0=33,3 кН; Q5,5=-49,2 кН;
Qz1m=RA-q∙z1m=0;
z1m=RAq=33,315=2,22 м
Мz1=RA∙z1-0,5∙q∙z12
Изгибающий момент в пределах первого участка является квадратичной функцией координаты z, для построения эпюры на этом участке вычислим ординаты трех точек.
М0=0; М5,5=-43,6 кНм; М2,22=36,96 кНм;
Участок II: z2 ∈0;1,7м.
В пределах участка проводим плоскость, перпендикулярную оси балки, отбрасываем правую часть и рассматриваем равновесие оставшейся левой части
Qz2=P1=22 кН
Поперечная сила на первом участке постоянная величина, ее эпюра представляет горизонтальную линию
Мz2=M1-P1∙z2
Изгибающий момент в пределах первого участка является линейной функцией координатыz, для построения эпюры на этом участке вычислим координаты двух точек.
М0=2,8 кНм; М1,7=-34,6 кНм;
Из условия прочности при изгибе находим потребный осевой момент сопротивления поперечного сечения балки
σmax=MmaxWx≤[σ]
Wx=Mmax[σ]=43600145∙106=300,7∙10-6м3=300,7см3
Сечение 1 –двутавр
По ГОСТ 8239-97
Находим номер двутавра №27
Для него Wx=371см3; Ix=5010см4;Sx=210см3;A=40,2 см2 ;b=6мм
τmax=Qmax∙SxIx∙b=49200∙210∙10-65010∙10-8∙0,006=34,3 МПа
σmax=MmaxWx=43600371∙10-6=117,5 МПа
Условие прочности по касательным напряжениям выполняется
Сечение 3–прямоугольник h=2b
Для прямоугольного поперечного сечения
Wx=bh26=b·4b212=b33
b33=300,7;b=30,0 см;h=60,0 см;
A=b·h=1800 см2;
τmax=32QmaxA=32∙492001800∙10-4=0,41 МПа
τmax=MmaxWx≤[τ]
Сечение 5 –два равнобоких уголка
по ГОСТ 8509-93 выбираем уголок 200х200х16
Для него Wx=163,37см3; Ix=2362,57см4;
A=61,98 см2 ;b=16мм
Условие прочности по касательным напряжениям выполняется
σmax=MmaxWx=436002∙163,37∙10-6=133,4МПа
τmax=Qmax∙SxIx∙b=49200∙264∙10-62∙2362,57∙10-8∙0,032=8,59 МПа
Наименьшим весом обладает двутавровое сечение балки
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
