Определение внутренних усилий при изгибе

1. Построение внутренних усилий для консольной балки
Для консольной балки нет необходимости в определении опорных реакций. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M начинаем со свободного конца балки.
Участок AB. Находим выражения Q и M в общем виде:
Q1z=-qz1=-8z1;
M1z=M-0,5qz12=16-4z12;
0≤z1≤83 м.
Поперечная сила на участке AB изменяется по его длине по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы.
Найдем ординаты эпюры Q:
при z1=0 м,
Q1=0 кН,
при z1=83 м,
Q1=-8∙83=-21,33 кН.
Поперечная сила не меняет знак на этом участке.
Найдем ординаты эпюры M на границах участка:
при z1=0 м,
M1=16 кН∙м,
при z1=83 м,
M1=16-4∙832=-12,44 кН∙м.
Участок BC. Находим выражения Q и M в общем виде:
Q2z=-ql3-F=-47,33 кН;
M2z=M-ql3∙z2-l6-F∙z2-l3=
=16-643z2-43-26z2-83;
83≤z2≤163 м.
Поперечная сила на участке BC постоянна по его длине и равна -47,33 кН, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
Найдем ординаты эпюры M:
при z2=83 м,
M2=16-643∙43=-12,44 кН∙м,
при z2=163 м,
M2=16-643∙4-26∙83=-138,67 кН∙м.
Рис.1. Схема консольной балки и эпюры поперечной силы и изгибающего момента.
Участок CD. Находим выражения Q и M в общем виде:
Q3z=-ql3-F-qz3-2l3=-47,33-8z3-163;
M3z=M-ql3∙z3-l6-F∙z3-l3-0,5qz3-2l32==16-643z3-43-26z3-83-4z3-1632;
163≤z3≤8 м.
Поперечная сила на участке CD изменяется по его длине по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы.
Найдем ординаты эпюры Q:
при z3=163 м,
Q3=-47,33 кН,
при z3=8 м,
Q3=-47,33-8∙83=-68,67 кН.
Поперечная сила не меняет знак на этом участке.
Найдем ординаты эпюры M:
при z3=163 м,
M3=16-643∙4-26∙83=-138,67 кН∙м,
при z3=8 м,
M3=16-643∙203-26∙163-4∙832=-293,33 кН∙м.
По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента (рис. 1).
2. Построение внутренних усилий для двухопорной балки
Рис.2. Схема двухопорной балки и эпюры поперечной силы и изгибающего момента.
2.1. Вычисление опорных реакций.
Реакции опор определяем из условия равновесия балки:
mA=0, M+RB∙l-F∙2l3-q∙l3∙l+l6=0;
RB=-M+F∙2l3+q∙l3∙l+l6l=-16+26∙163+8∙83∙8+868==40,22 кН;
mB=0, M-RA∙l+F∙l3-q∙l3∙l6=0;
RA=M+F∙l3-q∙l3∙l6l=16+26∙83-8∙83∙868=7,11 кН.
Производим проверку правильности найденных реакций путем проецирования всех сил на вертикальную ось Y:
Y=RA-F+RB-q∙l3=7,11-26+40,22-8∙83=47,33-47,33=0.
Следовательно, реакции найдены верно.
2.2 . Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M.
Участок AC. Находим выражения Q и M в общем виде:
Q1z=RA=7,11 кН;
M1z=-M+RAz1=-16+7,11z1;
0≤z1≤163 м.
Поперечная сила на участке AC постоянна и равна 7,11 кН, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
Найдем ординаты эпюры M на границах участка AC:
при z1=0 м,
M1=-16 кН∙м,
при z1=163 м,
M1=-16+7,11∙163=21,92 кН∙м.
Участок CB. Находим выражения Q и M в общем виде:
Q2z=RA-F=7,11-26=-18,89 кН;
M2z=-M+RAz2-Fz2-163=-16+7,11z2-26z2-163;
163≤z2≤8 м.
Поперечная сила на участке CB постоянна и равна -18,89 кН, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
Найдем ординаты эпюры M:
при z2=163 м,
M2=-16+7,11∙163=21,92 кН∙м,
при z2=8 м,
M2=-16+7,11∙8-26∙83=-28,44 кН∙м.
Участок DB. Находим выражения Q и M в общем виде:
Q3z=qz3=8z3;
M4z=-0,5qz32=-4z32;
0≤z3≤83 м.
Поперечная сила на участке DB изменяется по его длине по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы.
Найдем ординаты эпюры Q:
при z3=0 м,
Q3=0 кН,
при z3=83 м,
Q3=8∙83=21,33 кН.
Поперечная сила не меняет знак на этом участке.
Найдем ординаты эпюры M:
при z3=0 м,
M4=0 кН∙м,
при z3=83 м,
M4=-4∙832=-28,44 кН∙м.
По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента (рис. 2).
2.3. Подбор сечения балки. Находим по эпюре M максимальные (по абсолютной величине) значения внутренних усилий:
Mmax=28,44 кН∙м.
Из условия прочности при изгибе
σmax=MmaxWx≤σ
определяем требуемый момент сопротивления сечения балки:
Wxтр=Mmaxσ=28,44∙103 Н∙м160∙106 Нм2=0,17775∙10-3 м3=177,75 см3.
Для двутаврового сечения по требуемому моменту сопротивления из таблицы ГОСТа 8239-89 принимаем двутавр № 20, для которого Wx=184 см3.
2.4. Построение эпюр распределения напряжений для двутаврового сечения.
Основные геометрические характеристики двутавра № 20:
– высота профиля h=200 мм;
– ширина полки b=100 мм;
– толщина полки t=8,4 мм;
– толщина стенки s=5,2 мм;
– площадь поперечного сечения A=26,8 см2;
– статический момент полусечения Sx=104 см3;
– момент сопротивления Wx=184 см3;
– момент инерции относительно нейтрального слоя Jx=1840 см4.
В точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от нейтральной оси, нормальные напряжения определяются по формуле:
σ=MmaxJx∙y.
При y=0 σ=0.
При y=±h2 σ=±MmaxJx∙h2=±MmaxWx=±28,44∙103 Н∙м184∙10-6 м3=±154,6 МПа.
Изгибающий момент Mmax отрицательный (рис