Определение параметра Z = f(х1, х2, х3) проводится с помощью прямых многократных измерений параметров х1, х2, х3

1. Определение оценки истинного значения искомого параметра.
При ограниченном числе измерений (n≠∞) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Z, полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями x1, x2,… , xj,… , xm аргументов в соответствии с этой функцией:
Z=Fx1, x2,… , xj,… , xm.
Средние арифметические значения параметров xi определяем по формуле:
xi=1ni=1nxi;
x1=14,36+14,36+14,38+14,37+14,395=14,372;
x2=26,6+26,7+26,9+27,0+27,15=26,86;
x3=9,21+9,29+9,28+9,30+9,315=9,278.
Оценка истинного значения Z с учетом вида ее функции:
Z=5*9,278314,372*26,86=10,345.
2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра.
Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2+2*i,j=1mrij*∂F∂xi*∂F∂xj*Sxi*Sxj,
где Sxj2 – оценка дисперсии результата измерения j-го аргумента; ∂F∂xj*Sxj – частные погрешности косвенного измерения; rij – коэффициенты корреляции
погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.
В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированны, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому рассматриваемое выражение примет вид:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2.
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j-го
аргумента определяем по формуле:
Sxj=1n*n-1i=1nxi-X2;
Sx1=15*5-1i=15x1i-14,3722=0,0058;
Sx2=15*5-1i=15x2i-26,862=0,0927;
Sx3=15*5-1i=15x3i-9,2782=0,0177.
Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру xj:
∂Z∂x1*Sx1=-5*x33x12*x2*Sx1=-5*9,278314,3722*26,86*0,0058=-0,0042;
∂Z∂x2*Sx2=-5*x33x1*x22*Sx2=-5*9,278314,372*26,862*0,0927=-0,0357;
∂Z∂x3*Sx3=15*x32x1*x2*Sx3=15*9,278214,372*26,86*0,0177=0,0592.
Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z составляет:
SZ=-0,00422+-0,03572+0,05922=0,0693.
Далее необходимо определить эффективное число степеней свободы по формуле:
kэф=j=1m∂F∂xj2*Sxj22-2*j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1,
где nj - число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.
Для удобства расчетов составляем таблицу 2.
Таблица 2
Параметр ∂Z∂xj
∂Z∂xj2
∂Z∂xj4
Sxj
Sxj2
Sxj4
x1
0,720 0,5184 0,268739 0,0058 0,000034 1,13*10-9
x2
0,385 0,148225 0,021971 0,0927 0,0086 0,000074
x3
3,345 11,189 125,194 0,0177 0,000313 9,82*10-8
kэф=0,000023-2*0,00000230,0000023=8.
При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности Р = 95 % по таблице коэффициентов Стьюдента находим t 0,95= 2,306