Обработка результатов косвенных многократных наблюдений
Определение параметра Z = f(х1, х2, х3) проводится с помощью прямых многократных измерений параметров х1, х2, х3, для каждого из которых известны основные метрологические характеристики применяемых средств измерений – пределы измерений (ПИ) и класс точности (КТ).
Требуется:
провести обработку результатов измерений;
найти суммарную погрешность косвенного измерения параметра Z измерения c доверительной вероятностью Р = 95 %.
Исходные данные приведены в таблице 5.
Таблица 5
Исходные данные
Измеряемый
параметр Пределы
измерений Класс
точности Вид
функции
х1 10,31; 10,32; 10,35; 10,34; 10,39 -20…+25 0,02 Z =
х2 21,9; 22,0; 22,1; 22,8; 22,6 ±40 266065558790,4
000,4
х3 5,05; 5,03; 5,04; 5,06; 5,02 0…30 0,15/0,01
Решение
1. Определение оценки истинного значения искомого параметра.
При ограниченном числе измерений (n≠∞) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Z, полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями x1, x2,… , xj,… , xm аргументов в соответствии с этой функцией:
Z=Fx1, x2,… , xj,… , xm.
Средние арифметические значения параметров xi определяем по формуле:
xi=1ni=1nxi;
x1=10,31+10,32+10,35+10,34+10,395=10,342;
x2=21,9+22,0+22,1+22,8+22,65=22,28;
x3=5,05+5,03+5,04+5,06+5,025=5,04.
Оценка истинного значения Z с учетом вида ее функции:
Z=5*10,3422*5,04222,28=609,7123.
2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра.
Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2+2*i,j=1mrij*∂F∂xi*∂F∂xj*Sxi*Sxj,
где Sxj2 – оценка дисперсии результата измерения j-го аргумента; ∂F∂xj*Sxj – частные погрешности косвенного измерения; rij – коэффициенты корреляции
погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.
В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированны, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому рассматриваемое выражение примет вид:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2.
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j-го
аргумента определяем по формуле:
Sxj=1n*n-1i=1nxi-X2;
Sx1=15*5-1i=15x1i-10,3422=0,01393;
Sx2=15*5-1i=15x2i-22,282=0,1772;
Sx3=15*5-1i=15x3i-5,042=0,00707.
Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру xj:
∂Z∂x1*Sx1=10*x1*x32x2*Sx1=10*10,342*5,04222,28*0,01393=1,642;
∂Z∂x2*Sx2=-5*x12*x32x22*Sx2=-5*10,3422*5,04222,282*0,1772=
=-4,849;
∂Z∂x3*Sx3=10*x3*x12x2*Sx3=10*5,04*10,342222,28*0,00707=1,711.
Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z составляет:
SZ=1,6422+-4,8492+1,7112=5,4.
Далее необходимо определить эффективное число степеней свободы по формуле:
kэф=j=1m∂F∂xj2*Sxj22-2*j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1,
где nj - число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.
Для удобства расчетов составляем таблицу 4.1.
Таблица 4.1
Параметр ∂Z∂xj
∂Z∂xj2
∂Z∂xj4
Sxj
Sxj2
Sxj4
x1
117,9 13900 1,93*108
0,01393 0,000194 3,77*10-8
x2
27,37 749 5,6*105
0,1772 0,0314 0,000986
x3
241,9 58516 3,4*109
0,00707 0,00005 2,5*10-9
kэф=849,2-2*94,794,7=7.
При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности Р = 95 % по таблице коэффициентов Стьюдента находим t 0,95= 2,365
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
