Определение параметра Z = f(х1, х2, х3) проводится с помощью прямых многократных измерений параметров х1, х2, х3

1. Определение оценки истинного значения искомого параметра.
При ограниченном числе измерений (n≠∞) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Z, полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями x1, x2,… , xj,… , xm аргументов в соответствии с этой функцией:
Z=Fx1, x2,… , xj,… , xm.
Средние арифметические значения параметров xi определяем по формуле:
xi=1ni=1nxi;
x1=18,64+18,67+18,68+18,67+18,535=18,638;
x2=30,2+30,9+30,5+30,4+30,75=30,54;
x3=8,22+8,29+8,28+8,27+8,265=8,264.
Оценка истинного значения Z с учетом вида ее функции:
Z=5*8,264318,638*30,54=4,958.
2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра.
Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2+2*i,j=1mrij*∂F∂xi*∂F∂xj*Sxi*Sxj,
где Sxj2 – оценка дисперсии результата измерения j-го аргумента; ∂F∂xj*Sxj – частные погрешности косвенного измерения; rij – коэффициенты корреляции
погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.
В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированны, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому рассматриваемое выражение примет вид:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2.
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j-го
аргумента определяем по формуле:
Sxj=1n*n-1i=1nxi-X2;
Sx1=15*5-1i=15x1i-18,6382=0,02782;
Sx2=15*5-1i=15x2i-30,542=0,12083;
Sx3=15*5-1i=15x3i-8,2642=0,01208.
Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру xj:
∂Z∂x1*Sx1=-5*x33x12*x2*Sx1=-5*8,264318,6382*30,54*0,02782=-0,0074;
∂Z∂x2*Sx2=-5*x33x1*x22*Sx2=-5*8,264318,638*30,542*0,12083=-0,0196;
∂Z∂x3*Sx3=15*x32x1*x2*Sx3=15*8,264218,638*30,54*0,01208=0,0217.
Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z составляет:
SZ=-0,00742+-0,01962+0,02172=0,0302.
Далее необходимо определить эффективное число степеней свободы по формуле:
kэф=j=1m∂F∂xj2*Sxj22-2*j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1,
где nj - число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.
Для удобства расчетов составляем таблицу 4.1.
Таблица 4.1
Параметр ∂Z∂xj
∂Z∂xj2
∂Z∂xj4
Sxj
Sxj2
Sxj4
x1
0,266 0,071 0,005 0,02782 0,000774 6*10-7
x2
0,162 0,026 0,0007 0,12083 0,0146 0,000213
x3
1,8 3,24 10,5 0,01208 0,000146 2,13*10-8
kэф=8,327*10-7-2*6,263*10-86,263*10-8=11,3.
При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности Р = 95 % по таблице коэффициентов Стьюдента находим t 0,95= 2,194