Определение числовых оценок параметров при обработке многократных неравноточных измерений

Значение среднего взвешенного х0 определяем по формуле:
х0 = (х1·р1 + х2·р2+ х3·р3)/( р1 + р2+ р3), где х1, х2, х3– средние значения для отдельных групп измерений, р1, р2, р3 – их вес. Вес в отличие от плотности вероятности обозначим р* .
Определение “веса” результата.
В основу вычисления взяты средние квадратические погрешности. Веса соответствующих групп измерений считают обратно пропорциональными квадратам , т.е . дисперсиям:
р1*: р2*: р3* = 1σ12 : 1σ22 : 1σ32 , т.е. в случае неравноточных измерений за оценку математического ожидания принимают средневзвешенное арифметическое значение:
, где gi – вес i-го измерения; обычно принимают gi = 1/σi2, здесь
σi2– дисперсия i-го результата, определяемая точностью измерения (прибора и метода). Аналогично за точечную оценку дисперсии при неравноточных измерениях принимают:
Определяем отношения весов:
р1*: р2*: р3* = 10,62 : 10,92 : 10,82 = 10,36 : 10,81 : 10,64 = 2,25:1:1,27.
В соответствии с этой пропорцией, принимаем: р1*=2,25; р2*= 1; р3* = 1,27.
Среднее взвешенное будет равно:
х0 = (100,1·2,25+100,2·1+100,25·1,27)(2,25+1+1,27) = 100,16.
Оценка погрешности среднего взвешенного, определяется по формуле:
, где Σр*- сумма весов всех результатов; m - число результатов измерений, ui = разность хi - х0.
Σр* = 2,25 +1 + 1,27 = 4,52; m(m - 1) = 3·(3-1) = 6;
р1*·u12 = 2,25·(100,1- 100,16)2 = 0,0081;
р2*·u22 = 1,0·(100,2- 100,16)2 = 0,0016;
р3*·u32 = 1,27·(100,25- 100,16)2 = 0,0103.
Σ(рi2·ui2) = 0,0081+0,0016 +0,0103 = 0,020.
S х0 = 0,026∙4,52 = 0,027 ≈ 0,03
Ответ: х0 = 100,16, S х0 = 0,03.