Однородный стержень длиной ℓ = 1 м и массой 0,7 кг

Предполагая, что пуля после соударения полетит в обратном направлении, запишем закон сохранения момента импульса:
mv1⋅23l=-mv2⋅23l+Jω,
где J = Mℓ2/6 ― момент инерции стержня;
ω ― угловая скорость стержня в начальный момент после соударения.
Закон сохранения энергии для данной системы имеет вид:
mv122=mv222+Jω22
Вычислим энергию, приобретённую стержнем . После того, как стержень отклонится на угол 60°, вся кинетическая энергия стержня перейдёт в потенциальную:
Mgh=Jω22
где h ― высота, на которую поднимется центр масс стержня.
Из рисунка:
h=l2-l2⋅cosα=l2⋅1-cosα=l2⋅1-cos60°=l4.
J=Ml26.
Тогда
Mgh=Jω22=Ml26⋅ω22=Ml2ω212,
ω=1l⋅12gh=1l⋅12gl4=3gl=3⋅9,811=5,42 рад/с.
Запишем законы сохранения момента импульса и энергии в систему уравнений:
3327407620002mv1ℓ = –2mv2ℓ+3Jω
mv12 = mv22+Jω2.
Подставим числовые значения:
3232156985002·0,005·v1·1 = –2·0,005·v2·1+3·0,1167·5,42
0,005·v12 = 0,005v22+0,1167·5,422
32321531750000,01v1 = –0,01v2+1,9
0,005v12 = 0,005v22+3,43
Из первого уравнения найдём v2 и подставим во второе:
v2 = (1,9–0,01v1)/0,01 = 190–v1
0,005v12 = 0,005(190–v1)2+3,43;
0,005v12 = 0,005(36100–380v1+v12)+3,43;
0 = 180,5–1,9v1+3,43;
v1 = (180,5+3,43)/1,9 = 96,8 м/c.
Ответ: v1 = 96,8 м/с.