Обработка результатов равноточных многократных измерений

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=51,230 -50,970=0,26 мм.
Xmax = 51,230 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 50,970 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=57=7,55.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=50,970 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 50,970+0,037=51,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 51,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 51,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 51,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 51,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 51,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 51,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 51,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 51,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 51,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 51,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 51,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 51,229~51,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =50,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 51,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 51,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 51,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 51,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 51,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 51,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 50,97 51,007 50,9885 2 0,035
2 51,007 51,044 51,0255 3 0,053
3 51,044 51,081 51,0625 11 0,193
4 51,081 51,118 51,0995 19 0,333
5 51,118 51,155 51,1365 15 0,263
6 51,155 51,192 51,1735 5 0,088
7 51,192 51,23 51,211 2 0,035
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090417195001504950501650X=51,105 мм
00X=51,105 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=157×(50,9885×2+51,0255×3+51,0625×11+51,0995×19++51,1365×15+51,1735×5+51,211×2).
51,105 мм.
После подстановки 51,105 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*50,9885-51,1052+…+2*51,211-51,105257=0,12736657.
Sx=0,0473 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,46, что соответствует величине φ(z) = 0,019.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,68, что соответствует величине φ(z) = 0,097.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,9, что соответствует величине φ(z) = 0,266.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,12, что соответствует величине φ(z) = 0,396.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,67, что соответствует величине φ(z) = 0,319.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,45, что соответствует величине φ(z) = 0,139.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,24, что соответствует величине φ(z) = 0,032.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,863.
Для 2 интервала:
No2 = 4,338.
Для 3 интервала:
No3 = 11,864.
Для 4 интервала:
No4 =17,660.
Для 5 интервала:
No5 = 14,212.
Для 6 интервала:
No6 = 6,217.
Для 7 интервала:
No7 = 1,447.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,035 0,015
2 0,053 0,076
3 0,193 0,208
4 0,333 0,31
5 0,263 0,249
6 0,088 0,109
7 0,035 0,025
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 0,863 1,137 1,292769 1,497994
2 3 4,338 -1,338 1,790244 0,412689
3 11 11,864 -0,864 0,746496 0,062921
4 19 17,66 1,34 1,7956 0,101676
5 15 14,212 0,788 0,620944 0,043692
6 5 6,217 -1,217 1,481089 0,238232
7 2 1,447 0,553 0,305809 0,21134
χ2=(mi-N​oi)2Noi=2,57.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=11,67.
В силу того, что выполняется условие
χ2=2,57<χq2=11,67,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3