Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала ±∆Pд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,010
Результаты измерений, мм
1 115,050 10 115,050 19 115,060 28 115,090 37 115,130 46 115,150
2 115,080 11 115,170 20 115,090 29 114,990 38 115,070 47 115,080
3 115,030 12 115,130 21 115,070 30 115,130 39 115,110 48 115,130
4 115,110 13 115,110 22 115,170 31 115,120 40 115,120 49 115,110
5 115,090 14 115,230 23 115,110 32 115,150 41 115,100 50 115,120
6 115,010 15 114,970 24 115,190 33 115,100 42 115,210 51 115,130
7 115,150 16 115,130 25 115,090 34 115,110 43 115,110 52 115,170
8 115,090 17 115,150 26 115,070 35 115,140 44 115,070
9 115,070 18 115,140 27 115,050 36 115,130 45 115,170
Доверительная вероятность Рд = 0,88 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,05 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=115,23 – 114,97=0,26 мм.
Xmax = 115,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 114,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=52=7,21.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=114,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 114,97+0,037=115,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 115,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 115,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 115,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 115,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 115,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 115,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 115,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 115,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 115,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 115,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 115,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 115,229~115,23 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =114,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 115,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 115,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 115,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 115,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 115,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 115,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 114,97 115,007 114,9885 2 0,038
2 115,007 115,044 115,0255 2 0,038
3 115,044 115,081 115,0625 11 0,212
4 115,081 115,118 115,0995 14 0,269
5 115,118 115,155 115,1365 16 0,308
6 115,155 115,192 115,1735 5 0,096
7 115,192 115,230 115,211 2 0,038
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3368040318135001504950501650X=115,107 мм
00X=115,107 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2
. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=152×(114,9885×2+115,0255×2+115,0625×11+115,0995×14++115,1365×16+115,1735×5+115,211×2).
115,107 мм.
После подстановки 115,107 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*114,9885-115,1072+…+2*115,211-115,107252=0,121652.
Sx=0,0484 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,45, что соответствует величине φ(z) = 0,020.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,68, что соответствует величине φ(z) = 0,097.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,92, что соответствует величине φ(z) = 0,261.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,15, что соответствует величине φ(z) = 0,394.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,61, что соответствует величине φ(z) = 0,331.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,37, что соответствует величине φ(z) = 0,156.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,15, что соответствует величине φ(z) = 0,040.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,789.
Для 2 интервала:
No2 = 3,867.
Для 3 интервала:
No3 = 10,387.
Для 4 интервала:
No4 =15,681.
Для 5 интервала:
No5 = 13,166.
Для 6 интервала:
No6 = 6,204.
Для 7 интервала:
No7 = 1,572.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,038 0,015
2 0,038 0,074
3 0,212 0,2
4 0,269 0,302
5 0,308 0,253
6 0,096 0,119
7 0,038 0,03
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
Noi
mi-Noi
(mi-Noi)2
(mi-Noi)2Noi
1 2 0,789 1,211 1,466521 1,858708
2 2 3,867 -1,867 3,485689 0,901394
3 11 10,387 0,613 0,375769 0,036177
4 14 15,681 -1,681 2,825761 0,180203
5 16 13,166 2,834 8,031556 0,610022
6 5 6,204 -1,204 1,449616 0,233658
7 2 1,572 0,428 0,183184 0,116529
χ2=(mi-Noi)2Noi=3,937.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,05;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=9,49.
В силу того, что выполняется условие
χ2=3,937<χq2=9,49,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
