Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического, среднеквадратичного отклонения Sx и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала
Вариант №14
Цена деления прибора С, мм 0,010
Таблица 1. Результаты измерений
1 2 3 4 5 6 7 8 9
60,110 60,130 60,070 60,110 60,030 60,090 60,050 60,150 60,130
10 11 12 13 14 15 16 17 18
60,090 60,130 60,230 60,110 60,050 60,170 60,150 59,970 60,190
19 20 21 22 23 24 25 26 27
60,090 60,070 60,070 60,170 60,060 60,130 60,110 60,090 60,110
28 29 30 31 32 33 34 35 36
60,120 60,080 60,100 60,050 60,100 60,040 59,990 60,130 60,010
37 38 39 40 41 42 43 44 45
60,210 60,110 60,130 60,070 60,130 60,090 60,150 60,110 60,090
46 47 48 49 50
60,070 60,170 60,110 60,150 60,150
Доверительная вероятность Рд=0,97 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q=0,05 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
Ряд наблюдений, упорядоченных по возрастанию, называется вариационным рядом.
Исходная совокупность состоит из 50 единиц – значений результатов измерений.
Ранжируем заданный ряд в порядке возрастания:
Таблица 2 – Вариационный ряд
59,970 59,990 60,010 60,030 60,040 60,050 60,050 60,050 60,060
60,070 60,070 60,070 60,070 60,070 60,080 60,090 60,090 60,090
60,090 60,090 60,090 60,100 60,100 60,110 60,110 60,110 60,110
60,110 60,110 60,110 60,110 60,120 60,130 60,130 60,130 60,130
60,130 60,130 60,130 60,150 60,150 60,150 60,150 60,150 60,170
60,170 60,170 60,190 60,210 60,230
Построим интервальный вариационный ряд. Для построения интервального ряда необходимо определить величину частичных интервалов и начальное значение варианты. Для определения длины интервала можно воспользоваться формулой Стерджесса.
По формуле Стерджесса определим необходимое количество используемых групп: n=1+3,322·lgN=1+3,322·lg50=6,644≈7
Xmax – 60,230; Xmin – 59,970.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным: n=7.
Вычислим величину равного интервала:
h=(Xmax-Xmin)/n=(60,130-59,970)/7=0,260/7=0,037143≈0,037
Расчленим исходную совокупность на 7 групп с величиной интервала в 0,037. Определим границы и середины интервалов.
1-ый интервал:
Xmin 1=Xmin=59,970
Xmax 1=Xmin 1+h=59,970+0,037=60,007
X0 1=(Xmin 1+Xmax 1)/2=(59,970+60,007)/2=59,9885≈59,989
2-ой интервал:
Xmin 2=Xmax 1=60,007
Xmax 2=Xmin 2+h=60,007+0,037=60,044
X0 2=(Xmin 2+Xmax 2)/2=(60,007+60,044)/2=60,0255≈60,026
3-ий интервал:
Xmin 3=Xmax 2=60,044
Xmax 3=Xmin 3+h=60,044+0,037=60,081
X0 3=(Xmin 3+Xmax 3)/2=(60,044+60,081)/2=60,0625≈60,063
4-ый интервал:
Xmin 4=Xmax 3=60,081
Xmax 4=Xmin 4+h=60,081+0,037=60,118
X0 4=(Xmin 4+Xmax 4)/2=(60,081+60,118)/2=60,0995≈60,01
5-ый интервал:
Xmin 5=Xmax 4=60,118
Xmax 5=Xmin 5+h=60,118+0,037=60,155
X0 5=(Xmin 5+Xmax 5)/2=(60,118+60,155)/2=60,1365≈60,137
6-ой интервал:
Xmin 6=Xmax 5=60,155
Xmax 6=Xmin 6+h=60,155+0,037=60,192
X0 6=(Xmin 6+Xmax 6)/2=(60,155+60,192)/2=60,1735≈60,174
7-ой интервал:
Xmin 7=Xmax 6=60,192
Xmax 7=Xmin 7+h=60,192+0,037=60,229≈60,230
X0 7=(Xmin 7+Xmax 7)/2=(60,192+60,230)/2=60,211
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу 3:
Таблица 3
. Результаты расчетов
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 59,970 60,007 59,989 2 0,04
2 60,007 60,044 60,026 3 0,06
3 60,044 60,081 60,063 10 0,2
4 60,081 60,118 60,100 16 0,32
5 60,118 60,155 60,137 13 0,26
6 60,155 60,192 60,174 4 0,08
7 60,192 60,230 60,211 2 0,04
50 1
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
Рисунок 1 – Гистограмма распределения
Рисунок 2 – Теоретическая кривая распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
χ2=(mi-N⥂oi)2Noi
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
Noi=N∙hσx∙φ(z)
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx≈Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
Sx=mi∙(Xoi-X)2N
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=1N∙(Xoi∙mi)
X=150∙(59,989∙2+60,026∙3+60,063∙10+60,100∙16+60,137∙13++60,174∙4+60,211∙2)=150∙3005,22=60,104 мм
X=60,104 мм
После подстановки 60,104 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
mi×Xoi-X2=2∙59,989-60,1042+3∙60,026-60,1042++10∙60,063-60,1042+16∙60,100-60,1042++13∙60,137-60,1042+4∙60,174-60,1042++2∙60,211-60,1042=0,119
Sx=0,11950=0,048716≈0,049 мм
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле:
φ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле:
Zoi=Xoi-XSx
Для 1-го интервала:
Zo1=Xo1-XSx=59,989-60,1040,049=-2,36
что соответствует величине φ(z)=0,0246
Для 2-го интервала:
Zo2=Xo2-XSx=60,026-60,1040,049=-1,602
что соответствует величине φ(z)=0,1109
Для 3-го интервала:
Zo3=Xo3-XSx=60,063-60,1040,049=-0,85
что соответствует величине φ(z)=0,2779
Для 4-го интервала:
Zo4=Xo4-XSx=60,100-60,1040,049=-0,09
что соответствует величине φ(z)=0,3973
Для 5-го интервала:
Zo5=Xo5-XSx=60,137-60,1040,049=0,66
что соответствует величине φ(z)=0,3208
Для 6-го интервала:
Zo6=Xo6-XSx=60,174-60,1040,049=1,42
что соответствует величине φ(z)=0,1455
Для 7-го интервала:
Zo7=Xo7-XSx=60,211-60,1040,049=2,18
что соответствует величине φ(z)=0,0371
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
No1=N∙hSxφZo1=50∙0,0370,049∙0,0246=0,928
No2=N∙hSxφZo2=50∙0,0370,049∙0,1109=4,187
No3=N∙hSxφZo3=50∙0,0370,049∙0,2779=10,492
No4=N∙hSxφZo4=50∙0,0370,049∙0,3973=15
No5=N∙hSxφZo5=50∙0,0370,049∙0,3208=12,112
No6=N∙hSxφZo6=50∙0,0370,049∙0,1455=5,493
No7=N∙hSxφZo7=50∙0,0370,049∙0,0371=1,4
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
