Обработка результатов равноточных многократных измерений.
1.1. Определить основные статистические показатели.
1.2. Построить гистограмму.
1.3. Построить теоретическую кривую нормального распределения на том же графике.
1.4. Определить доверительный интервал рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения.
1.5. Определить суммарную погрешность обработки.
1.6. Ответить на вопросы: Для чего необходимо строить на одном графике теоретическую кривую нормального распределения и гистограмму? Какие выводы можно сделать по данному графику?
ВАРИАНТ 29. Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала ±∆Pд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,010
Результаты измерений, мм
1 100,070 10 100,090 19 100,230 28 100,140 37 100,140 46 99,970
2 100,120 11 100,170 20 100,120 29 100,130 38 100,150 47 100,080
3 100,150 12 100,010 21 100,110 30 100,150 39 100,080 48 100,070
4 100,070 13 100,170 22 100,030 31 100,120 40 100,130 49 100,110
5 100,050 14 100,130 23 100,130 32 100,050 41 100,110 50 100,130
6 99,990 15 100,070 24 100,150 33 100,090 42 100,210 51 100,090
7 100,110 16 100,090 25 100,170 34 100,190 43 100,130
8 100,090 17 100,120 26 100,100 35 100,110 44 100,050
9 100,110 18 100,150 27 100,070 36 100,090 45 100,110
Доверительная вероятность Рд = 0,95 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,02 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=10,23-9,97=0,26 мм.
Xmax = 10,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 9,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=51=7,14.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=99,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 99,97+0,037=100,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 100,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 100,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 100,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 100,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 100,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 100,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 100,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 100,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 100,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 100,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 100,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 100,229~100,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =99,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 100,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 100,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 100,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 100,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 100,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 100,211 (мм)
Определение количества размеров, попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 99,97 100,007 99,9885 2 0,04
2 100,007 100,044 100,0255 2 0,04
3 100,044 100,081 100,0625 10 0,20
4 100,081 100,118 100,0995 14 0,27
5 100,118 100,155 100,1365 17 0,33
6 100,155 100,192 100,1735 4 0,08
7 100,192 100,23 100,211 2 0,04
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
338709056959500
1333500470535X=10,108 мм
00X=10,108 мм
157734077787500Рисунок 1.1
2
. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=151×(99,9885×2+100,0255×2+100,0625×10+100,0995×14++100,1365×17+100,1735×4+100,211×2).
100,108 мм.
После подстановки 10,109 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*99,9885-100,1082+…+2*100,211-100,108251=0,116151.
Sx=0,048 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,49, что соответствует величине φ(z) = 0,018.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,72, что соответствует величине φ(z) = 0,091.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,95, что соответствует величине φ(z) = 0,254.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,18, что соответствует величине φ(z) = 0,393.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,59, что соответствует величине φ(z) = 0,335.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,36, что соответствует величине φ(z) = 0,158.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,15, что соответствует величине φ(z) = 0,040.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,706.
Для 2 интервала:
No2 = 3,573.
Для 3 интервала:
No3 = 9,988.
Для 4 интервала:
No4 =15,431.
Для 5 интервала:
No5 = 13,178.
Для 6 интервала:
No6 = 6,220.
Для 7 интервала:
No7 = 1,555.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,04 0,014
2 0,04 0,07
3 0,20 0,196
4 0,27 0,303
5 0,33 0,258
6 0,08 0,122
7 0,04 0,03
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
Noi
mi-Noi
(mi-Noi)2
(mi-Noi)2Noi
1 2 0,706 1,294 1,674436 2,371722
2 2 3,573 -1,573 2,474329 0,692507
3 10 9,988 0,012 0,000144 0,000014
4 14 15,431 -1,431 2,047761 0,132704
5 17 13,178 3,822 14,607684 1,10849
6 4 6,22 -2,22 4,9284 0,792347
7 2 1,555 0,445 0,198025 0,127347
χ2=(mi-Noi)2Noi=5,225.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=11,67.
В силу того, что выполняется условие
χ2=5,225<χq2=11,67,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
