Обработка результатов равноточных многократных измерений 1 1

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=10,23-9,97=0,26 мм.
Xmax = 10,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 9,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=51=7,14.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=99,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 99,97+0,037=100,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 100,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 100,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 100,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 100,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 100,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 100,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 100,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 100,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 100,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 100,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 100,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 100,229~100,230 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =99,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 100,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 100,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 100,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 100,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 100,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 100,211 (мм)
Определение количества размеров, попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 99,97 100,007 99,9885 2 0,04
2 100,007 100,044 100,0255 2 0,04
3 100,044 100,081 100,0625 10 0,20
4 100,081 100,118 100,0995 14 0,27
5 100,118 100,155 100,1365 17 0,33
6 100,155 100,192 100,1735 4 0,08
7 100,192 100,23 100,211 2 0,04
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
338709056959500
1333500470535X=10,108 мм
00X=10,108 мм
157734077787500Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=151×(99,9885×2+100,0255×2+100,0625×10+100,0995×14++100,1365×17+100,1735×4+100,211×2).
100,108 мм.
После подстановки 10,109 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*99,9885-100,1082+…+2*100,211-100,108251=0,116151.
Sx=0,048 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,49, что соответствует величине φ(z) = 0,018.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,72, что соответствует величине φ(z) = 0,091.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,95, что соответствует величине φ(z) = 0,254.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,18, что соответствует величине φ(z) = 0,393.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,59, что соответствует величине φ(z) = 0,335.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,36, что соответствует величине φ(z) = 0,158.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,15, что соответствует величине φ(z) = 0,040.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,706.
Для 2 интервала:
No2 = 3,573.
Для 3 интервала:
No3 = 9,988.
Для 4 интервала:
No4 =15,431.
Для 5 интервала:
No5 = 13,178.
Для 6 интервала:
No6 = 6,220.
Для 7 интервала:
No7 = 1,555.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,04 0,014
2 0,04 0,07
3 0,20 0,196
4 0,27 0,303
5 0,33 0,258
6 0,08 0,122
7 0,04 0,03
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 0,706 1,294 1,674436 2,371722
2 2 3,573 -1,573 2,474329 0,692507
3 10 9,988 0,012 0,000144 0,000014
4 14 15,431 -1,431 2,047761 0,132704
5 17 13,178 3,822 14,607684 1,10849
6 4 6,22 -2,22 4,9284 0,792347
7 2 1,555 0,445 0,198025 0,127347
χ2=(mi-N​oi)2Noi=5,225.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=11,67.
В силу того, что выполняется условие
χ2=5,225<χq2=11,67,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3