Обработка результатов равноточных многократных измерений 1 1

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=33,023 – 32,997=0,026 мм.
Xmax = 33,023 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 32,997 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=53=7,28.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,0267=0,0037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=32,997 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 32,997+0,0037=33,0007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 33,0007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 33,0044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 33,0044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 33,0081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 33,0081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 33,0118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 33,0118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 33,0155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 33,0155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 33,0192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 33,0192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 33,0229~33,023 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =32,99885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 33,00255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 33,00625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 33,00995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 33,01365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 33,01735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 33,0211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 32,997 33,0007 32,99885 2 0,038
2 33,0007 33,0044 33,00255 2 0,038
3 33,0044 33,0081 33,00625 13 0,245
4 33,0081 33,0118 33,00995 15 0,283
5 33,0118 33,0155 33,01365 13 0,245
6 33,0155 33,0192 33,01735 6 0,113
7 33,0192 33,023 33,0211 2 0,038
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090512445001504950501650X=33,011 мм
00X=33,011 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=153×(32,99885×2+33,00255×2+33,00625×13+33,00995×15++33,01365×13+33,01735×6+33,0211×2).
33,011 мм.
После подстановки 33,011 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*32,99885-33,0112+…+2*33,0211-33,011253=0,00128553.
Sx=0,0049 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,48, что соответствует величине φ(z) = 0,018.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,72, что соответствует величине φ(z) = 0,091.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,97, что соответствует величине φ(z) = 0,249.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,21, что соответствует величине φ(z) = 0,390.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,54, что соответствует величине φ(z) = 0,345.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,3, что соответствует величине φ(z) = 0,171.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,06, что соответствует величине φ(z) = 0,048.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,737.
Для 2 интервала:
No2 = 3,637.
Для 3 интервала:
No3 = 9,974.
Для 4 интервала:
No4 =15,618.
Для 5 интервала:
No5 = 13,8.
Для 6 интервала:
No6 = 6,858.
Для 7 интервала:
No7 = 1,913.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,038 0,014
2 0,038 0,069
3 0,245 0,188
4 0,283 0,295
5 0,245 0,26
6 0,113 0,129
7 0,038 0,036
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 2 0,737 1,263 1,595169 2,164408
2 2 3,637 -1,637 2,679769 0,736808
3 13 9,974 3,026 9,156676 0,918055
4 15 15,618 -0,618 0,381924 0,024454
5 13 13,8 -0,8 0,64 0,046377
6 6 6,858 -0,858 0,736164 0,107344
7 2 1,913 0,087 0,007569 0,003957
χ2=(mi-N​oi)2Noi=4.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,1;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=7,78.
В силу того, что выполняется условие
χ2=4<χq2=7,78,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3