Обработка результатов равноточных многократных измерений 1 1

1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=10,23-9,97=0,26 мм.
Xmax = 10,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 9,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=53=7,28.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=9,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 9,97+0,037=10,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 10,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 10,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 10,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 10,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 10,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 10,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 10,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 10,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 10,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 10,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 10,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 10,229~10,23 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =9,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 10,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 10,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 10,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 10,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 10,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 10,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 9,97 10,007 9,9885 1 0,02
2 10,007 10,044 10,0255 3 0,06
3 10,044 10,081 10,0625 10 0,19
4 10,081 10,118 10,0995 16 0,30
5 10,118 10,155 10,1365 16 0,30
6 10,155 10,192 10,1735 5 0,09
7 10,192 10,23 10,211 2 0,04
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090569595001504950501650X=10,109 мм
00X=10,109 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2 . Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=155×(9,9885×1+10,0255×3+10,0625×10+10,0995×16++10,1365×16+10,1735×5+10,211×2).
10,109 мм.
После подстановки 10,109 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=9,9885-10,1092+…+2*10,211-10,109253=0,112253.
Sx=0,046 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,62, что соответствует величине φ(z) = 0,013.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,82, что соответствует величине φ(z) = 0,076.
Для 3 интервала:
Zo3 = -1,01, что соответствует величине φ(z) = 0,240.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,21, что соответствует величине φ(z) = 0,390.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,6, что соответствует величине φ(z) = 0,333.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,4, что соответствует величине φ(z) = 0,150.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,22, что соответствует величине φ(z) = 0,034.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,550.
Для 2 интервала:
No2 = 3,246.
Для 3 интервала:
No3 = 10,212.
Для 4 интервала:
No4 =16,636.
Для 5 интервала:
No5 = 14,206.
Для 6 интервала:
No6 = 6,383.
Для 7 интервала:
No7 = 1,447.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,02 0,01
2 0,06 0,061
3 0,19 0,193
4 0,30 0,314
5 0,30 0,268
6 0,09 0,12
7 0,04 0,027
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
N​oi
mi-N​oi
(mi-N​oi)2
(mi-N​oi)2Noi
1 1 0,55 0,45 0,2025 0,368182
2 3 3,246 -0,246 0,060516 0,018643
3 10 10,212 -0,212 0,044944 0,004401
4 16 16,636 -0,636 0,404496 0,024314
5 16 14,206 1,794 3,218436 0,226555
6 5 6,383 -1,383 1,912689 0,299654
7 2 1,447 0,553 0,305809 0,21134
χ2=(mi-N​oi)2Noi=1,153.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=11,67.
В силу того, что выполняется условие
χ2=1,153<χq2=11,67,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3