Обработка результатов равноточных многократных измерений.
1.1. Определить основные статистические показатели.
1.2. Построить гистограмму.
1.3. Построить теоретическую кривую нормального распределения на том же графике.
1.4. Определить доверительный интервал рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения.
1.5. Определить суммарную погрешность обработки.
1.6. Ответить на вопросы: Для чего необходимо строить на одном графике теоретическую кривую нормального распределения и гистограмму? Какие выводы можно сделать по данному графику?
ВАРИАНТ 97. Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала ±∆Pд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,010
Результаты измерений, мм
1 80,110 11 80,110 21 80,140 31 80,130 41 80,150 51 80,080
2 80,050 12 80,090 22 80,140 32 80,090 42 80,090 52 80,170
3 80,130 13 80,090 23 80,110 33 80,150 43 80,030 53 80,190
4 80,070 14 80,120 24 80,090 34 80,070 44 80,210 54 80,070
5 80,090 15 80,070 25 80,070 35 80,110 45 80,100 55 80,120
6 80,170 16 80,130 26 80,150 36 79,970 46 80,130
7 80,040 17 80,110 27 80,150 37 80,140 47 80,170
8 80,120 18 80,050 28 80,090 38 80,060 48 80,230
9 80,100 19 80,010 29 80,130 39 80,110 49 80,110
10 80,080 20 80,180 30 80,070 40 80,130 50 80,050
Доверительная вероятность Рд = 0,95 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,05 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=80,23-79,97=0,26 мм.
Xmax = 80,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 79,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=55=7,42.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=79,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 79,97+0,037=80,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 80,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 80,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 80,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 80,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 80,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 80,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 80,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 80,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 80,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 80,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 80,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 80,229~80,23 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =79,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 80,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 80,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 80,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 80,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 80,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 80,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 79,97 80,007 79,9885 1 0,02
2 80,007 80,044 80,0255 3 0,05
3 80,044 80,081 80,0625 12 0,22
4 80,081 80,118 80,0995 16 0,29
5 80,118 80,155 80,1365 16 0,29
6 80,155 80,192 80,1735 5 0,09
7 80,192 80,23 80,211 2 0,04
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090569595001504950501650X=80,107мм
00X=80,107мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2
. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=155×(79,9885×1+80,0255×3+80,0625×12+80,0995×16++80,1365×16+80,1735×5+80,211×2).
80,107 мм.
После подстановки 80,1087 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=79,9885-80,1072+…+2*80,211-80,107255=0,116355.
Sx=0,046 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,58, что соответствует величине φ(z) = 0,014.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,77, что соответствует величине φ(z) = 0,083.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,97, что соответствует величине φ(z) = 0,249.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,16, что соответствует величине φ(z) = 0,394.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,64, что соответствует величине φ(z) = 0,325.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,45, что соответствует величине φ(z) = 0,139.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,26, что соответствует величине φ(z) = 0,031.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,633.
Для 2 интервала:
No2 = 3,685.
Для 3 интервала:
No3 = 11,026.
Для 4 интервала:
No4 =17,424.
Для 5 интервала:
No5 = 14,380.
Для 6 интервала:
No6 = 6,168.
Для 7 интервала:
No7 = 1,373.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,02 0,012
2 0,05 0,067
3 0,22 0,2
4 0,29 0,317
5 0,29 0,261
6 0,09 0,112
7 0,04 0,025
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
Noi
mi-Noi
(mi-Noi)2
(mi-Noi)2Noi
1 1 0,633 0,367 0,134689 0,212779
2 3 3,685 -0,685 0,469225 0,127334
3 12 11,026 0,974 0,948676 0,08604
4 16 17,424 -1,424 2,027776 0,116378
5 16 14,38 1,62 2,6244 0,182503
6 5 6,168 -1,168 1,364224 0,221178
7 2 1,373 0,627 0,393129 0,286328
χ2=(mi-Noi)2Noi=1,233.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,05;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=9,5.
В силу того, что выполняется условие
χ2=1,233<χq2=9,5,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
