Обработка результатов равноточных многократных измерений.
1.1. Определить основные статистические показатели.
1.2. Построить гистограмму.
1.3. Построить теоретическую кривую нормального распределения на том же графике.
1.4. Определить доверительный интервал рассеивания случайных погрешностей вокруг среднего значения.
1.5. Определить суммарную погрешность обработки.
1.6. Ответить на вопросы: Для чего необходимо строить на одном графике теоретическую кривую нормального распределения и гистограмму? Какие выводы можно сделать по данному графику?
ВАРИАНТ 59. Обработка результатов равноточных многократных измерений с получением среднего арифметического X, среднеквадратичного отклонения Sx, и определением суммарной погрешности измерения в виде доверительного интервала ±∆Pд.
Исходные данные
Цена деления прибора С, мм 0,010
Результаты измерений, мм
1 34,130 11 34,170 21 34,110 31 34,120 41 34,110 51 34,090
2 34,120 12 34,010 22 34,030 32 34,050 42 34,210 52 34,120
3 34,150 13 34,170 23 34,130 33 34,090 43 34,070
4 34,070 14 34,130 24 34,150 34 34,190 44 34,050
5 34,050 15 34,070 25 34,170 35 34,110 45 34,110
6 33,990 16 34,090 26 34,100 36 34,090 46 33,970
7 34,110 17 34,120 27 34,070 37 34,140 47 34,080
8 34,090 18 34,150 28 34,140 38 34,150 48 34,070
9 34,110 19 34,230 29 34,130 39 34,080 49 34,110
10 34,090 20 34,120 30 34,150 40 34,130 50 34,130
Доверительная вероятность Рд = 0,91 – показывает вероятность нахождения истинного значения в рассчитанном интервале.
Уровень значимости q = 0,02 – показывающий, что принятый закон рассеивания размеров не будет соответствовать реальному закону.
Решение
1. Построение гистограммы.
Определяем величину размаха R (поле рассеяния):
R = Xmax – Xmin=34,23-33,97=0,26 мм.
Xmax = 34,23 мм – наибольшее из измеренных значений;
Xmin = 33,97 мм – наименьшее из измеренных значений.
Определяем число интервалов разбиения n, в соответствии с рекомендациями:
n =N=52=7,21.
Количество интервалов принимается ближайшим большим нечетным.
Принимаем n = 7.
Определяем ширину интервала h:
h ==0,267=0,037 мм.
Определяем границы интервалов Xmini – Xmaxi
1 интервал: Xmin1 – Xmax1
Xmin1 = Xmin=33,97 мм
Xmax1 = Xmin1 + h = 33,97+0,037=34,007 мм
2 интервал: Xmin2 – Xmax2
Xmin2 = Xmax1 = 34,007 (мм)
Xmax2 = Xmin2 + h = 34,044 (мм)
3 интервал: Xmin3 – Xmax3
Xmin3 = Xmax2 = 34,044 (мм)
Xmax3 = Xmin3 + h = 34,081 (мм)
4 интервал: Xmin4 – Xmax4
Xmin4 = Xmax3 = 34,081 (мм)
Xmax4 = Xmin4 + h = 34,118 (мм)
5 интервал: Xmin5 – Xmax5
Xmin5 = Xmax4 = 34,118 (мм)
Xmax5 = Xmin5 + h = 34,155 (мм)
6 интервал: Xmin6 – Xmax6
Xmin6 = Xmax5 = 34,155 (мм)
Xmax6 = Xmin6 + h = 34,192 (мм)
7 интервал: Xmin7 – Xmax7
Xmin7 = Xmax6 = 34,192 (мм)
Xmax7 = Xmin7 + h = 34,229~34,23 мм.
Определяем середины интервалов Xoi
1 интервал: Xo1 = Xmin1 + =33,9885 (мм)
2 интервал:Xo2 = Xmin2 + = 34,0255 (мм)
3 интервал:Xo3 = Xmin3 + = 34,0625 (мм)
4 интервал:Xo4 = Xmin4 + = 34,0995 (мм)
5 интервал:Xo5 = Xmin5 + = 34,1365 (мм)
6 интервал:Xo6 = Xmin6 + = 34,1735 (мм)
7 интервал:Xo7 = Xmin7 + = 34,211 (мм)
Определение количества размеров попадающих в каждый интервал mi.
Используя заданную выборку, подсчитываем количество размеров попадающих в каждый интервал (если размер совпадает с границей интервала то его относят в интервал, находящийся слева по числовой оси)
Результаты выполненных выше расчетов занесем в таблицу:
Таблица 1.1
Номер интервала Границы интервала Середина интервала Xoi (мм) Число размеров в интервале, mi
Xmin (мм) Xmax (мм)
1 33,97 34,007 33,9885 2 0,04
2 34,007 34,044 34,0255 2 0,04
3 34,044 34,081 34,0625 10 0,19
4 34,081 34,118 34,0995 14 0,27
5 34,118 34,155 34,1365 18 0,35
6 34,155 34,192 34,1735 4 0,08
7 34,192 34,23 34,211 2 0,04
Используя табличные данные, строим гистограмму рассеивания единичных замеров и теоретическую кривую нормального распределения:
3387090382270001504950501650X=34,108 мм
00X=34,108 мм
158686577089000
Рисунок 1.1
2
. Проверка выборки на соответствие нормальному закону распределения
При числе измерений свыше 50 проверка распределения на соответствие нормальному закону может выполняться по критерию Пирсона. При использовании этого критерия определяется параметр хи-квадрат по следующей формуле:
,
где Noi – теоретическая частота попадания в интервал.
Теоретическая частота попадания в интервал определяется по формуле:
φ(z) – плотность вероятности появления размеров в каждом интервале;
σx – среднеквадратичное отклонение размеров (СКО) выборки.
Считая, что СКО практически совпадает с его оценкой (σx ≈ Sx) приведем формулу, по которой определяется оценка СКО:
В данную формулу входит величина , которая представляет среднеарифметическое значение измеряемой величины и определяется по формуле:
X=152×(33,9885×2+34,0255×2+34,0625×10+34,0995×14++34,1365×18+34,1735×4+34,211×2).
34,108 мм.
После подстановки 34,108 мм получим численные значения среднеарифметического и оценки СКО:
Sx=2*33,9885-34,1082+…+2*34,211-34,108252=0,116952.
Sx=0,0474 мм.
Кроме полученных величин, для определения теоретической частоты попадания в интервал Noi необходимо знать плотность вероятности попадания размеров в каждом интервале.
Эту величину можно определить по формуле: ϕ(z)=e(-z22)2π
Так как расчеты по данной формуле достаточно сложны, значения плотности вероятности выбирают из таблицы в зависимости от безразмерного параметра Z, который для каждого интервала определяется по формуле: Zoi=Xoi-XSx.
Для 1 интервала:
Zo1 =-2,52, что соответствует величине φ(z) = 0,017.
Для 2 интервала:
Zo2 = -1,74, что соответствует величине φ(z) = 0,088.
Для 3 интервала:
Zo3 = -0,96, что соответствует величине φ(z) = 0,252.
Для 4 интервала:
Zo4 = -0,18, что соответствует величине φ(z) = 0,393.
Для 5 интервала:
Zo5 = 0,6, что соответствует величине φ(z) = 0,333.
Для 6 интервала:
Zo6 = 1,38, что соответствует величине φ(z) = 0,154.
Для 7 интервала:
Zo7 = 2,17, что соответствует величине φ(z) = 0,038.
Определяем теоретические значения количества деталей для каждого интервала Noi.
Noi=N×hSxϕZoi.
Для 1 интервала:
No1 =0,677.
Для 2 интервала:
No2 = 3,564.
Для 3 интервала:
No3 = 10,214.
Для 4 интервала:
No4 =15,933.
Для 5 интервала:
No5 = 13,526.
Для 6 интервала:
No6 = 6,249.
Для 7 интервала:
No7 = 1,537.
На основании результатов измерений и расчета теоретических данных определяем фактическую и теоретическую частоту попадания размеров в интервал:
Таблица 1.2
№ интервала Фактическая частота Теоретическая частота
1 0,04 0,013
2 0,04 0,069
3 0,19 0,196
4 0,27 0,306
5 0,35 0,26
6 0,08 0,12
7 0,04 0,03
Полученные результаты позволяют получить расчетную величину параметра χ-квадрат:
Таблица 1.3
№
интервала mi
Noi
mi-Noi
(mi-Noi)2
(mi-Noi)2Noi
1 2 0,677 1,323 1,750329 2,585419
2 2 3,564 -1,564 2,446096 0,686334
3 10 10,214 -0,214 0,045796 0,004484
4 14 15,933 -1,933 3,736489 0,234513
5 18 13,526 4,474 20,016676 1,479867
6 4 6,249 -2,249 5,058001 0,80941
7 2 1,537 0,463 0,214369 0,139472
χ2=(mi-Noi)2Noi=5,94.
Для совпадения фактического закона распределения с теоретическим законом нормального распределения необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: ,
где – теоретическое граничное значение параметра хи-квадрат, которое определяется по таблице (таблица 2 задания к контрольной работе).
Для получения табличного значения необходимо определиться с двумя параметрами:
- уровнем значимости q, который показывает вероятность того, что законы не совпадут.
В нашем случае, в соответствии с заданием, q = 0,02;
- числом степеней свободы , которое определяется в зависимости от числа интервалов n и числа определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы r.
Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется двумя параметрами – СКО и МО (математическим ожиданием).
Число степеней свободы определяется по формуле:
Таким образом, табличное значение χq2=7,78.
В силу того, что выполняется условие
χ2=5,94<χq2=7,78,
делаем вывод о том, что исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
