Обработка результатов косвенных многократных наблюдений

Определение оценки истинного значения искомого параметра.
При ограниченном числе измерений (n≠∞) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Z , полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями
х1, х2, ..., хj, ..., хm аргументов в соответствии с этой функцией.
Средние арифметические значения параметров хi определяем по формуле
xi= 1n i=1nxi, (4.1)
х1 = 17,82+17,82+17,84+17,85+17,835 = 17,832;
х2 = 29,3+29,8+29,6+29,7+29,55 = 29,58;
х3 = 7,31+7,33+7,37+7,34+7,395 = 7,348.
Оценка истинного значения Z с учетом вида ее функции
Z = 5·7,348317,832∙29,58 = 3,7608
2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра.
Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле
(4.2)
где Sxj2 – оценка дисперсии результата измерения j-го аргумента;
(∂F∂xj)Sxj – частные погрешности косвенного измерения;
rij – коэффициенты корреляции погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.
В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированы, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому выражение (4.2) примет вид
(4.3)
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j-го аргумента определяем по формуле
Sxj = 1n(n-1)i=1n(Xi-x)2, (4.4)
Sx1 = 15(5-1)i=1n(Xi-17,832)2 = 0,00583;
Sx2 = 15(5-1)i=1n(Xi-29,58)2 = 0,08602;
Sx3 = 15(5-1)i=1n(Xi-7,348)2 = 0,01428.
Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру хj
(∂Z∂x1)Sx1 =- 5∙x33x12∙x2 · Sx1
(∂Z∂x1)Sx1 =- 5∙7,348317.8322∙29.58 · 0,00583 = -0,000447
(∂Z∂x2)Sx2 =- 5∙x33x22∙x1 · Sx2
(∂Z∂x2)Sx2 =- 5∙7,348329,582∙17,832 · 0,08602 = -0,010937
(∂Z∂x3)Sx3 = 15∙x32x1∙x2 · S3
(∂Z∂x3)Sx3 = 15∙7,348217,832∙29.58 · 0,01428 = 0,02193
Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z, рассчитанное по формуле, составляет
Sz = (-0,000447)2+(-0,010937)2+0,021932 = 0,025
3 . Определение доверительных границ случайной погрешности.
2343150477520º
00º
Доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляем по формуле:
∆р = tp·S(∆Z), (4.5)
Эффективное число степеней свободы определяем по формуле:
(4.6)
Для удобства расчетов составим таблицу 4.2.
Таблица 4.2
Вспомогательные расчеты
Параметр (∂Z∂xj) (∂Z∂xj)2 (∂Z∂xj)4 Sxj
Sxj2
Sxj4
x1
-0,07665 0,005874456 0,000034509 0,005831 3,4·10-5 1,16·10-9
x2
-0,12714 0,01616458 0,000261294 0,086023 0,00739996 5,5 ·10-5
x3
1,53544 2,357575994 5,558164566 0,014283 2,04·10-4 4,2·10-8
kэф = 0,000600762-2∙0,00000004130,0000000413 = 6,73
При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности
Р = 95 % интерполяцией данных по таблице 4 (приложение Б) находим
-76200190500º
00º
t0,95 = 2,365