Обработка результатов косвенных многократных наблюдений. Определение параметра Z

1. Определение оценки истинного значения искомого параметра.
При ограниченном числе измерений (n≠∞) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение Z, полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями x1, x2,… , xj,… , xm аргументов в соответствии с этой функцией:
Z=Fx1, x2,… , xj,… , xm.
Средние арифметические значения параметров xi определяем по формуле:
xi=1ni=1nxi;
x1=16,74+16,77+16,75+16,76+16,765=16,756;
x2=28,9+28,8+28,4+28,6+28,75=28,68;
x3=6,72+6,77+6,75+6,76+6,795=6,758.
Оценка истинного значения Z с учетом вида ее функции:
Z=5*6,758316,756*28,68=3,211.
2. Определение оценки среднеквадратического отклонения искомого параметра.
Оценку дисперсии результата косвенного измерения определяют по формуле:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2+2*i,j=1mrij*∂F∂xi*∂F∂xj*Sxi*Sxj,
где Sxj2 – оценка дисперсии результата измерения j-го аргумента; ∂F∂xj*Sxj – частные погрешности косвенного измерения; rij – коэффициенты корреляции
погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.
В тех же случаях, когда исходные величины измеряют с помощью различных средств измерения в разное время, можно с полным правом ожидать, что результаты, если и будут коррелированны, то очень мало, и коэффициентом корреляции можно пренебречь, поэтому рассматриваемое выражение примет вид:
SZ2=j=1m∂F∂xj2*Sxj2.
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения j-го
аргумента определяем по формуле:
Sxj=1n*n-1i=1nxi-X2;
Sx1=15*5-1i=15x1i-16,7562=0,0051;
Sx2=15*5-1i=15x2i-28,682=0,0860;
Sx3=15*5-1i=15x3i-6,7582=0,0116.
Вычислим частные производные и частные погрешности косвенных измерений по каждому параметру xj:
∂Z∂x1*Sx1=-5*x33x12*x2*Sx1=-5*6,758316,7562*28,68*0,0051=-0,0010;
∂Z∂x2*Sx2=-5*x33x1*x22*Sx2=-5*6,758316,756*28,682*0,0860=-0,0096;
∂Z∂x3*Sx3=15*x32x1*x2*Sx3=15*6,758216,756*28,68*0,0116=0,0165.
Таким образом, оценка СКО косвенного измерения параметра Z составляет:
SZ=-0,00102+-0,00962+0,01652=0,0191.
Далее необходимо определить эффективное число степеней свободы по формуле:
kэф=j=1m∂F∂xj2*Sxj22-2*j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1j=1m∂F∂xj4*Sxj4*1nj+1,
где nj - число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.
Для удобства расчетов составляем таблицу 4.1.
Таблица 4.1
Параметр ∂Z∂xj
∂Z∂xj2
∂Z∂xj4
Sxj
Sxj2
Sxj4
x1
0,192 0,037 0,0014 0,0051 0,000026 6,77*10-10
x2
0,112 0,013 0,0002 0,0860 0,007396 0,000055
x3
1,426 2,033 4,135 0,0116 0,000135 1,81*10-8
kэф=0,000000138-2*0,00000001430,0000000143=7,7.
При таком числе степеней свободы для доверительной вероятности Р = 95 % по таблице коэффициентов Стьюдента находим t 0,95= 2,324