Обозначения Aj – запасы груза в i-м пункте отправления

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:
a=100+150+50=300;b=75+80+60+85=300,a=b.
Суммарная потребность груза равна запасам груза у поставщиков. Следовательно, задача является закрытой.
Найдем начальное решение методом северо-западного угла.
Элемент матрицы тарифов в ячейке A1B1 (северо-западный угол) и равен 6. Запасы поставщика A1 составляют 100 ед. Потребность потребителя B1 составляет 75 ед. От поставщика A1 к потребителю B1 будем доставлять 75 ед. Мы полностью исчерпали потребности потреби теля B1 Вычеркиваем столбец 1 из таблицы, т.е. исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. Продолжая аналогичным образом рассуждения получим опорное решение:
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
75 25    
a2= 150
  55 60 35
a3= 50
      50
Проверим полученный опорный план на невырожденность. Количество заполненных клеток N должно удовлетворять условию N=n+m-1 . В нашем случае N=6, n+m=4+3=7 , что удовлетворяет условию невырожденности плана. 
Вычислим общие затраты на перевозку всей продукции.
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
75
6
25
7
 
 
 
 
a2= 150
 
 
55
2
60
5
35
6
a3= 50
 
 
 
 
 
 
50
4
Перемножим числа стоящие в одной клетке (для всех клеток) затем полученные произведения сложим .
Pнач= 1445
Проведем поэтапное улучшение начального решения, используя метод потенциалов.Составим вспомогательную рабочую матрицу затрат. Ui+Vj=Pij.
b1
b2
b3
b4
a1
6 7     u1= 11
a2
  2 5 6 u2= 6
a3
      4 u3= 4
v1= -5
v2= -4
v3= -1
v4= 0
Порядок вычисления потенциалов был следующий:   1) Пусть V4 = 0 ;   2) U2 = P2,4 - V4 ;   3) U3 = P3,4 - V4 ;   4) V2 = P2,2 - U2 ;   5) V3 = P2,3 - U2 ;   6) U1 = P1,2 - V2 ;   7) V1 = P1,1 - U1 ;Теперь для всех свободных клеток рабочей матрицы затрат вычислим оценки Sij, по формуле Sij = Pij – Ui - Vj .
b1
b2
b3
b4
a1
6 7 -7 -6 u1= 11
a2
0 2 5 6 u2= 6
a3
4 10 17 4 u3= 4
v1= -5
v2= -4
v3= -1
v4= 0
Из всех отрицательных оценок имеет смысл выбрать наибольшую по модулю.
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
75
 
25
-
 
+
 
 
a2= 150
 
 
55
+
60
-
35
 
a3= 50
 
 
 
 
 
 
50
 
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
75   25  
a2= 150
  80 35 35
a3= 50
      50
Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам.
b1
b2
b3
b4
a1
6 7 3 1 u1= 4
a2
-7 2 5 6 u2= 6
a3
-3 10 17 4 u3= 4
v1= 2
v2= -4
v3= -1
v4= 0
Ячейка а2,b1, транспортной таблицы, должна загрузиться.
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
75
-
 
 
25
+
 
 
a2= 150
 
+
80
 
35
-
35
 
a3= 50
 
 
 
 
 
 
50
 
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
40   60  
a2= 150
35 80   35
a3= 50
      50
Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам.
b1
b2
b3
b4
a1
6 0 3 -6 u1= 11
a2
1 2 7 6 u2= 6
a3
4 10 24 4 u3= 4
v1= -5
v2= -4
v3= -8
v4= 0
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
40
-
 
 
60
 
 
+
a2= 150
35
+
80
 
 
 
35
-
a3= 50
 
 
 
 
 
 
50
 
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
5   60 35
a2= 150
70 80    
a3= 50
      50
Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам.
b1
b2
b3
b4
a1
6 0 3 5 u1= 5
a2
1 2 7 6 u2= 0
a3
-2 4 18 4 u3= 4
v1= 1
v2= 2
v3= -2
v4= 0
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
5
-
 
 
60
 
35
+
a2= 150
70
 
80
 
 
 
 
 
a3= 50
 
+
 
 
 
 
50
-
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
    60 40
a2= 150
70 80    
a3= 50
5     45
Рабочая матрица затрат с пересчитанными потенциалами и оценкам.
b1
b2
b3
b4
a1
2 2 3 5 u1= 5
a2
1 2 5 4 u2= 2
a3
3 6 18 4 u3= 4
v1= -1
v2= 0
v3= -2
v4= 0
В приведенной выше таблице нет отрицательных оценок (план улучшить нельзя), следовательно достигнуто оптимальное решение.
b1= 75
b2= 80
b3= 60
b4= 85
a1= 100
 
 
 
 
60
3
40
5
a2= 150
70
1
80
2
 
 
 
 
a3= 50
5
3
 
 
 
 
45
4
Общие затраты на перевозку всей продукции, для оптимального плана составляют: 
Pопт= 805
Запишем экономико-математическую модель задачи.
Обозначим x- количество продукта, доставляемого от i-го поставщика к j-му потребителю