Несобственные интегралы. Вычислить интеграл или установить его расходимость. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Несобственные интегралы. Вычислить интеграл или установить его расходимость

Несобственные интегралы. Вычислить интеграл или установить его расходимость .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Несобственные интегралы. Вычислить интеграл или установить его расходимость: 2+∞dx4+x2∙arctgx2

Ответ

≈0,35

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

2+∞dx4+x2∙arctgx2
Заданный интеграл является несобственным интегралом первого рода, так как на промежутке интегрирования [2;+∞) подынтегральная функция
fx=14+x2∙arctgx2 является непрерывной, но один из пределов интегрирования равен бесконечности . Тогда, согласно определению
a+∞fxdx=limb→+∞abfxdx
Сначала найдем неопределенный интеграл
dx4+x2∙arctgx2=
=сделаем заменуt=arctgx2;dt=12dx1+x22=dx21+x24=dx2∙4+x24=dx4+x22=2dx4+x2dx4+x2=12dt=
=12dtt=
(Вынесем коэффициент за знак интеграла)
=12dtt=
(Полученный интеграл является табличным)
=12lnt=сделаем обратную заменуt=arctgx2=12lnarctgx2
Тогда
2+∞dx4+x2∙arctgx2=limb→+∞2bdx4+x2∙arctgx2=
=limb→+∞12lnarctgx2b 2=12limb→+∞lnarctgb2-lnarctg22=
=12limb→+∞lnarctgb2-lnarctg1=12lnπ2-lnπ4=12lnπ2:π4=
=12ln4π2π=12ln2=ln212 =ln2≈0,35
Интеграл сходится и равен ≈0,35
Ответ: ≈0,35

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу