; 1400; 1650; 1500; 1230; 1200; 2000; 1600; 1800; 1160; 1220; 1220; 1800; 1550; 2100; 2050; 1100; 1490; 1200; 1650; 1170; 1200; 1700; 1150; 1250; 1400; 1240; 1650; 1500; 1160; 1650; 1200; 1150; 1220; 1200; 1260; 1350; 1200; 1230; 1240; 1200; 1210; 2200; 1800; 1850; 2050; 1240; 1400; 1520; 1200; 1300; 1600; 1100; 1900; 1100; 1700; 1600; 1190; 1600; 1450; 1500; 1300; 1300; 1350; 1900; 2000; 1700; 2150; 1900; 1700; 1200; 1600; 1600; 1160; 1220; 1200; 1160; 1300; 1190
По заданной выборке
1) Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию;
2) Написать формулу и построить график эмпирической функции распределения;
3) Предполагая, что задана выборка из нормального распределения, построить доверительные интервалы для параметров этого распределения;
4) При помощи критерия Пирсона проверить гипотезу о том, что задана выборка из нормального распределения.
Решение
1). Объем выборки: .
Находим среди выборки ; . Записываем размах выборки: . Определяем длину интервала , где k=14 – число интервалов.
Записываем 14 интервалов, считая каждый из них закрытым слева и открытым справа. Границы интервалов, следовательно, будут , , ,… Составим интервальную таблицу:
№ Интервалы, Частота,
1 [1100;1178,58)
10
2 [1178,58;1257,16)
24
3 [1257,16;1335,74)
5
4 [1335,74;1414,32)
5
5 [1414,32;1492,9)
2
6 [1492,9;1571,48)
5
7 [1571,48;1650,06)
10
8 [1650,06;1728,64)
4
9 [1728,64;1807,22)
3
10 [1807,22;1885,8)
1
11 [1885,8;1964,38)
3
12 [1964,38;2042,96)
2
13 [2042,96;2121,54)
3
14 [2121,54;2200,12)
2
Находим средины интервалов по формуле и величины необходимые для расчета числовых характеристик:
№ Интервал
1 [1100;1178,58) 1139,29 10 11392,9 12979817,04
2 [1178,58;1257,16) 1217,87 24 29228,88 35596976,09
3 [1257,16;1335,74) 1296,45 5 6482,25 8403913,013
4 [1335,74;1414,32) 1375,03 5 6875,15 9453537,505
5 [1414,32;1492,9) 1453,61 2 2907,22 4225964,064
6 [1492,9;1571,48) 1532,19 5 7660,95 11738030,98
7 [1571,48;1650,06) 1610,77 10 16107,7 25945799,93
8 [1650,06;1728,64) 1689,35 4 6757,4 11415613,69
9 [1728,64;1807,22) 1767,93 3 5303,79 9376729,455
10 [1807,22;1885,8) 1846,51 1 1846,51 3409599,18
11 [1885,8;1964,38) 1925,09 3 5775,27 11117914,52
12 [1964,38;2042,96) 2003,67 2 4007,34 8029386,938
13 [2042,96;2121,54) 2082,25 3 6246,75 13007295,19
14 [2121,54;2200,12) 2160,83 2 4321,66 9338372,578
Сумма =SUM(ABOVE) 79 =SUM(ABOVE) 114913,77 =SUM(ABOVE) 174038950,173
Выборочное среднее: – несмещенная точечная оценка для математического ожидания.
Выборочная дисперсия: .
Исправленная выборочная дисперсия: .
2) Формула эмпирической функции распределения:
Строим схематический ступенчатый график эмпирической функции распределения:
3)
. Используем доверительную вероятность (надежность): .
Исправленное стандартное отклонение: – несмещенная оценка стандартного отклонения.
а). Используем соответствующее двойное неравенство для определения доверительного интервала математического ожидания нормального распределения: , где – точность оценки, – объем выборки, – среднее выборочное, – аргумент функции Лапласа, при котором .
Находим значение из соотношения .
, . Используя соответствующую таблицу значений функции Лапласа, получим: .
Подставляя все известные значения в неравенство для доверительного интервала, получим:
; .
б). По известным объему и доверительной вероятности (надежности) , используя соответствующую таблицу, определяем значение : .
Интервальная оценка среднеквадратического отклонения нормального распределения при : .
Тогда, получим:
; .
4). С помощью формул, соответствующих нормальному закону распределения, вычислим теоретические вероятности попадания случайного признака в каждый интервал, а именно: .
Следует напомнить, что значения функции Лапласа Ф(х) можно взять из соответствующей таблицы, предварительно вычислив аргумент х, причем , .
Для рассматриваемого примера с помощью формул, соответствующих нормальному закону распределения, вычислим теоретические вероятности попадания случайного признака в каждый из 14 интервалов
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
