Найти все значения x при которых выполняется равенство f'x=0

Найдём первую производную функции:
f'x=cos2x+x3'=-2sin2x+3
Теперь приравняем к нулю и решим полученное уравнение:
-2sin2x+3=0
2sin2x=3
sin2x=32
Получаем две серии корней:
Первая серия корней:
2x=arcsin32+2πn
2x=π3+2πn
x=π6+πn,n∈Z
Вторая серия корней:
2x=π-arcsin32+2πn
2x=π-π3+2πn
2x=2π3+2πn
x=π3+πn, n∈Z
Теперь отберём корни, которые лежат в указанном отрезке, проверяем первую серию корней:
При n=0:x=π6+0=π6-лежит в отрезке
При n=1:x=π6+π=7π6-лежит в отрезке
При n=2:x=π6+2π=13π6-лежит в отрезке
При n=3:x=π6+3π=19π6-лежит в отрезке
При других n корни не будут лежать в заданном отрезке.
Отберём корни из второй серии корней:
При n=0:x=π3+0=π3-лежит в отрезке
При n=1:x=π3+π=4π3-лежит в отрезке
При n=2:x=π3+2π=7π3
При n=3:x=π3+3π=10π3
При других n корни не будут лежать в заданном отрезке.
Тогда получили, что искомые значения x выглядят так:
π6;π3;7π6;4π3;13π6;7π3;19π6;10π3