Найти стационарное распределение температуры внутри цилиндра с радиусом r и высотой h

∆u=0,
(1) Граничные условия на боковой поверхности нулевые
uρ=r=0,
(2) на нижнем и верхнем основаниях, соответственно,
uz=0=0, uzz=h=Qk.
(3) где k – коэффициент теплопроводности.
Поскольку постановка задачи не зависит от полярного угла, то температура будет функцией только от ρ,z
u=uρ,z.
Стационарное распределение температуры в цилиндре описывается уравнением Лапласа
Запишем уравнение Лапласа (1) в цилиндрических координатах
∆u≡1ρ∂∂ρρ∂u∂ρ+∂2u∂z2=0.
(4) По физическому смыслу задачи будем искать ограниченное внутри тела решение
uρ, z<+∞, ρ (5) Для решения краевой задачи (2) – (5) применим метод Фурье разделения переменных. Ищем нетривиальное решение в виде произведения
uρ,z=WρZz.
Подставляем uρ,z в таком виде в (4) и учитываем, что функции W, Z только одного аргумента, получим
Z(z)ρddρρdWdρ+W(ρ)∂2Z(z)∂z2=0.
Делим на W(ρ)Zz, получим
1ρW(ρ)ddρρdWdρ+1Z(z)∂2Z(z)∂z2=0,
-1ρW(ρ)ddρρdWdρ=1Z(z)d2Z(z)dz2=λ2=const,
т.к . левая часть равенства зависит только от ρ, а правая только от z. В результате переменные разделяются, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
Z''z=λ2Zz
(6) ρW''ρ+W'ρ+λ2ρW(ρ)=0, или
ρ2W''ρ+ρW'ρ+λ2ρ2Wρ=0.
(7) А граничное условие (2) приводит к условию Wr=0.
(8) Уравнение (7) − это уравнение Бесселя нулевого порядка, его общее решение имеет вид
Wρ=A1J0λρ+A2N0λρ,
где J0x – функция Бесселя первого рода нулевого порядка, N0x – функция Бесселя второго рода (функция Неймана) нулевого порядка.
Учитывая ограниченность решения, следует положить A2=0, т.к. функция Неймана N0x не ограничена при x=0.
Wρ=A1J0λρ.
Из граничного условия (8) следует
Wr=A1J0λr=0,
получаем спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ
J0λr=0.
Обозначим μ=λr