Найти решение задачи Коши y'+y=4y2e4x1-x3

Найдём его общее решение методом Бернулли. Сделаем подстановку y= ux vx, y =u v v u. Подставим выражения для y и y' в заданное уравнение:
u v v u+4x3uv=4uv2e4x1-x3
v u+vu'+4x3u=4uv2e4x1-x3*.
Найдём функцию u как частное решение уравнения u'+4x3u=0 . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
dudx+4x3u=0,
duu=-4x3dx,
lnu=-x4=>u=e-x4.
Подставляя найденную функцию u=e-x4 в уравнение (*), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию vx:
v'e-x4=4e-2x4v2e4x1-x3,
v'v2=41-x3e4x-x4=>-1v=4-4x3e4x-x4dx=e4x-x4d4x-x4=e4x-x4+C.
v=-1e4x-x4+C
Учитывая, что y=uv , получим общее решение исходного уравнения
y=-e-x4e4x-x4+C=-.
Решим задачу Коши, т.е