Найти решение задачи Коши 4y3y''=y4-16 y0=22

Это дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Так как в уравнение явно не входит переменная x, то выполним замену:
y'=py => y''=p'∙y'=p'p
4y3pp'=y4-16
pdpdy=y4-164y3
pdp=y4-4y3dy
Интегрируем обе части:
pdp=p22 y4-4y3dy=y28+2y2+C1
p22=y28+2y2+C1
Найдем значение неизвестной константы:
y0=22, y'0=12 => p22=12
14=1+14+C1 => C1=-1
p22=y28+2y2-1 => p2=y24+4y2-2=y4+16-8y24y2=(y2-4)24y2
p=y2-42y
y'=p => dydx=y2-42y
2ydyy2-4=dx
Интегрируем обе части уравнения:
2ydyy2-4=d(y2-4)y2-4=lny2-4 dx=x+lnC2
lny2-4=x+lnC2
y2-4=C2ex
Найдем C2:
y0=22 => 4=C2 => y2-4=4ex
y2=4ex+4 => y=2ex+1