Найти решение задачи для уравнения ut=a2uxx+f

Поскольку граничное условие при x=0 второго рода (задано нулевое значение производной функции), то продолжим начальное условие и неоднородность в уравнении четным образом на всю ось -∞<x<+∞, т.е. рассмотрим следующую задачу Коши
utt=a2uxx+fx,t, -∞<x<+∞, t>0,
ux,0=φx, -∞<x<∞,
где
φx=φx, x>0φ-x, x<0, fx,t=fx,t, x>0f-x,t, x<0
Поскольку в нашем случае fx,t=0, а функции φx=cos3x четная, то имеем следующую задачу Коши
utt=9uxx, -∞<x<+∞, t>0,
ux,0=φx=cos3x.
Найдем решение задачи Коши с помощью формулы Пуассона
ux,t=12aπt-∞+∞φξe-x-ξ24a2tdξ.
В нашем случае a=3, φx=cos3x, поэтому
ux,t=16πt-∞+∞cos3ξ∙e-x-ξ236tdξ=16πt-∞+∞Ree3iξ∙e-x-ξ236tdξ==Re16πt-∞+∞e3iξ-x-ξ236tdξ
В показателе степени экспоненты выделим полный квадрат
3iξ-x-ξ236t=--108itξ+x2-2xξ+ξ236t=
=-136tξ2-2x+54itξ+x+54it2-x+54it2+x2=
=-136tξ-x-54it2-108ixt+542t2
ux,t=Re16πt-∞+∞e-136tξ-x-54it2-108ixt+542t2dξ=
=Ree108ixt-542t236t6πt-∞+∞e-ξ-x-54it236tdξ=замена:z=ξ-x-54it6tdξ=6tdz=e-81tRee3ixπ-∞+∞e-z2dz .
Используя интеграл Пауссона
-∞+∞e-z2dz=π,
получим
ux,t=e-81tRee3ix=cos3xe-81t.
Ответ:
ux,t=cos3xe-81t.