Найти решение первой внутренней граничной задачи для уравнения Гельмгольца

Ищем решение данного уравнения методом разделения переменных. Согласно лекции 14 (17.20), общее решение этого уравнения можно записать в одном из следующих видов:
ur,φ=A Jnγr+B Nn(γr)P Hn1γr+Q Hn2γrCcosnφ+DsinnφRe-inφ+Seinφ,
(3)
где Jnx – функции Бесселя первого рода порядка n; Nnx – функции Бесселя второго рода (функция Неймана) порядка n; Hn1γr, Hn2γr − функции Ханкеля первого и второго рада порядка n, соответственно .
Будем используем запись решения в первом виде
u0r,φ=A0 J0γr+B0 N0γr,
unr,φ=An Jnγr+Bn NnγrCncosnφ+Dnsinnφ, n=1,2,…
Из граничных условий (2) имеем
unR1,φ=An JnγR1+Bn NnγR1Cncosnφ+Dnsinnφ=0
unR2,φ=An JnγR2+Bn NnγR2Cncosnφ+Dnsinnφ=0
Откуда получаем следующие системы для нахождения коэффициентов An, Bn
An JnγR1+Bn NnγR1=0 An JnγR2+Bn NnγR2=0, n=0,1,2,…
Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, если определитель матрицы системы равен нулю
JnγR1NnγR1JnγR2NnγR2=JnγR1NnγR2-NnγR1JnγR2=0
(4)
Пусть γnk (n=0,1,2,…, k=1,2,…) – положительные корни этих уравнений.
Из уравнений системы имеем
Bn=-JnγnkR2NnγnkR2An,
unkr,φ=AnJnγnkr-JnγnkR2NnγnkR2AnNnγnkrCncosnφ+Dnsinnφ=
=AnNnγnkR2NnγnkR2Jnγnkr-JnγnkR2NnγnkrCncosnφ+Dnsinnφ=
=NnγnkR2Jnγnkr-JnγnkR2NnγnkrCncosnφ+Dnsinnφ,
где константы обозначены, как
Cn=AnNnγnkR2Cn, Dn=AnNnγnkR2Dn.
Ответ: Краевая задача (1), (2) имеет нетривиальные решения
u0kr,φ=C0N0γ0kR2J0γ0kr-J0γ0kR2N0γ0kr,
unkr,φ=NnγnkR2Jnγnkr-JnγnkR2NnγnkrCncosnφ+Dnsinnφ, n=1,2,…
в тех случаях, когда γ=γnk, где γnk, n=0,1,2,…, k=1,2,… корни уравнений
JnγR1NnγR2-NnγR1JnγR2=0.