Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Для решения начально-краевой задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T'(t)=X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на Xx∙T(t)
T'(t)T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, u10,t=X10⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X10=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X10=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X10=C2 sin10λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin10λ=0,
10λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk102, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=sinπkx10, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk't+πk102Tkt=0,
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Ake-πk102t.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Ake-πk102tsinπkx10.
Коэффициенты Ak этого ряда найдем из начального условия (2)
ux,0=k=1∞Aksinπkx10=φx.
Коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции φx в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx10k=1∞
Ak=210010φxsinπkx10dx=1505x25sinπkx10dx+51010-xsinπkx10dx=
=15-10πk05x25dcosπkx10+51010-xdcosπkx10=
=-2πkx25cosπkx1005-05cosπkx10∙2x5dx+10-xcosπkx10510+510cosπkx10dx=
=-2πk5cosπk2-25⋅10πk05x dsinπkx10-5cosπk2+10πksinπkx10510=
=-2πk-4πkxsinπkx1005-05sinπkx10dx+10πksinπk-sinπk2=
=-2πk-4πk5sinπk2+10πkcosπkx1005-10πksinπk2=
=-2πk-30πksinπk2-40π2k2cosπk2-1=60π2k2sinπk2+80π3k3cosπk2-1.
Таким образом, решение исходной смешанной задачи имеет вид
ux,t=k=1∞60π2k2sinπk2+80π3k3cosπk2-1e-πk102tsinπkx10.
Ответ:
ux,t=20π3k=1∞1k33πksinπk2+4cosπk2-4e-πk102tsinπkx10.