Найти решение графическим методом. Бесплатный доступ к контрольной работе

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

1) найти решение графическим методом 2) написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.

Ответ

φ(5,6)=8-минимальное значение

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

1)Построим область допустимых решений
x1-2x2≤0, (1) 3x1-x2≥0, (2) x1+x2≤11, (3) x1 ≥ 0, (4) x2 ≥ 0, (5)
Найдем градиент целевой функции :Gradφ=(2(x1-7),2(x2-8)),Gradφ(A)=(-14,-16)
Найдем значение целевой функции в точке A:φ(А)=49+64=113
Тогда линия уровня в точке A имеет вид:
Это окружность с центром в точе O(7,8), R=50113
Передвигаем линию уровня в направлении вектора
Gradφ(А)
(он указывает максимальное возрастание функции φ(х1,х2))
Поэтому минимальное значение функция φ(х1,х2) достигает в точке Е.
Найдем координаты точки Е:
x1-x2+1=0 ,x1+x2=11;⟺ x1=x2-12x1=10;⟺ x1= 5x2=6;
E(5,6)
Имеем: φ(5,6)=8 -минимальное значение
Теперь запишем задачу в традиционном виде:
Составим функцию Лагранжа
L(x1,x2,)=-+λ1-x1+2x2+λ23x1-x2+λ3(11-x1-x2)
Найдем частные производные функции L по x1,x2, и приравняем их к нулю:
Функция  называется функцией Лагранжа, а переменные  - коэффициентами Лагранжа.
         Точка  называется Седловой точкой функции Лагранжа, если для любых  выполняются неравенства:

           Если функции  дифференцируемы, то условия определяющие седловую точку (условия Куна-Таккера):



В нашем случае получаем:
Подставим в эти выражения точку (5,6)
-λ1+3λ2-λ3=-42λ1-λ2-λ3=-4
Система имеет множество решений: λ1-любое, λ2=3/4*λ1,λ3=54*λ1+4
Например (0,0, 4)
Седловая точка функции Логранжа (5,6, 0,0,4)
Проверим условия седловой точки
L(x1,x2)=-+4*(11-x1-x2)=
L(x1,x2,)=-8
L(x1,x2,)=-8
Условия выполнены, седловая точка (5,6, 0,0,4)
Ответ: φ(5,6)=8-минимальное значение

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу