Найти распределение температуры в однородном стержне длиной l, на одном конце которого поддерживается нулевая температура, а на другом − постоянная температура U0.
Замечание. Если предполагается описать процесс установления температуры, то в условии задачи должно быть еще задано начальное распределение температуры. Пусть для определенности в начальный момент времени температура стержня задавалась функцией φ(x).
Ответ
ux,t=U0xl+n=1∞2l0lφξsinπnξldξ+2U0-1nπne-aπnl2tsinπnxl.
Решение
Распределение температуры ux,t в стержне описывается следующим одномерным уравнением теплопроводности
ut=a2uxx, 0<x<l, t>0
(1)
при начальном условии
ux,0=φ(x),
(2)
и граничных условиях
u0,t=0, ul,t=U0.
(3)
Сведем начально-краевую задачу (1) − (3) к задаче с однородными граничными условиями (3). Для этого будем искать решение в виде
ux,t=vx,t+wx,t,
где wx,t − некоторая функция, удовлетворяющая граничным условиям (3). Учитывая тип граничных условий (3), функцию wx,t можно взять в виде
wx,t=u0,t+xlul,t-ul,0=U0xl.
Проведем замену
ux,t=vx,t+U0xl.
Тогда для функции vx,t получим следующую начально-краевую задачу
vt=a2vxx, 0<x<l, t>0
(4)
ux,0=vx,0+U0xl=φ(x),
vx,0=φx-U0xl,
(5)
v0,t=0, vl,t=0.
(6)
Для решения задачи (4) − (6) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (4)
Xx∙T' (t)=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T' (t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к
. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T'(t)+a2λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (6), получим
X0⋅Tt=0, Xl⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xl=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, Xl=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xl=C2 sinλl=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλl=0,
λl=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πnl2, n=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπnxl, n=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn'(t)+aπnl2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ane-aπnl2t.
Решение задачи (4) − (6) представим в виде ряда
vx,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Ane-aπnl2tsinπnxl.
Коэффициенты An этого ряда найдем из начального условия (5)
vx,0=n=1∞Ansinπnxl=φx-U0xl.
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции φx-U0xl в ряд Фурье по собственным функциям sinπnxln=1∞
An =2l0lφx-U0xlsinπnxldx
Вычислим интеграл
An =2l0l-U0xlsinπnxldx=-2U0l20lx-lπndcosπnxl=
=2U0lπnxcosπnxl0l-0lcosπnxldx=2U0lπnlcosπn-lπnsinπnxl0l=0=2U0-1nπn
Коэффициенты равны
An =2l0lφxsinπnxldx+2U0-1nπn, n=1,2,…
Таким образом, решение задачи (4) − (6) имеет вид
vx,t=n=1∞2l0lφξsinπnξldξ+2U0-1nπne-aπnl2tsinπnxl.
А решение исходной начально-краевой задачи (1) − (3) будет
ux,t=U0xl+n=1∞2l0lφξsinπnξldξ+2U0-1nπne-aπnl2tsinπnxl.
В частности:
1) Если начальная температура стержня нулевая φx=0, то распределение температуры стержня будет
ux,t=U0xl+2U0πn=1∞-1nne-aπnl2tsinπnxl.
2) Если начальная температура стержня φx=sinπxl, то
2l0lφxsinπnxldx=1, при n=10, при n≠1
и распределение температуры стержня будет
ux,t=U0xl+e-πnl2tsinπxl+n=1∞2U0-1nπne-aπnl2tsinπnxl.
Можно получить выражения ux,t и при других конкретных случаях начального распределения температуры ux,0=φ(x).
При t→∞ температура стержня стремится к стационарному распределению U0xl.
Ответ:
ux,t=U0xl+n=1∞2l0lφξsinπnξldξ+2U0-1nπne-aπnl2tsinπnxl.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
