Найти прbAB, площадь треугольника со сторонам совпадающими с векторами a и b

Сначала найдем координаты всех необходимых векторов:
a=i-2j-k=1;-2;-1,
b=0,-2,2,
AB=1-2;2--2;-1-0=-1;4;-1
1) По определению проекция равна:
прbAB=AB∙bb=-1∙0+4∙-2+-1∙202+-22+22=-8-24+4=-108=-1022=
=-522
2) Найдем векторное произведение:
a×b=ijk1-2-10-22=i-2-1-22-j1-102+k1-20-2=
=i-4-2-j2+0+k-2+0=-6i-2j-2k=-6;-2;-2.
Тогда площадь треугольника
S=12a×b=12∙-62+-22+-22=1236+4+4=1244=
=2112=11
3) Найдем смешанное произведение векторов b∙a∙ AB
b∙a∙ AB=0-221-2-1-14-1=0∙-2-14-1+21-1-1-1+21-2-14=
=2∙-1-1+2∙4-2=-4+4=0
4) Найдем, при каком λ векторы AB и a+λb ортогональны.
Векторы AB=-1;4;-1 и a+λb=1;-2;-1+λ0;-2;2=1;-2-2λ;-1+2λбудут ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть:
AB∙a+λb=-1∙1+4∙-2-2λ-1∙-1+2λ=
=-1-8-8 λ+1-2λ=-8-10λ=0
-8-10λ=0
10λ=-8
λ=-810
λ=-45
Ответ