Найти погрешность косвенных измерений плотности тела цилиндрической формы 2 способом

Обрабатываем прямые измерения массы:
Таблица 4.1
mi
mi-m
mi-m2
150,0 -0,44 0,1936
150,6 0,16 0,0256
150,7 0,26 0,0676
150,2 -0,24 0,0576
150,7 0,26 0,0676
mi=752,2
mi-m2=0,412
m=1ni=1nmi=15i=15mi=752,25=150,44 г.
σm=1n*n-1i=1nmi-m2=15*5-1i=15mi-150,442=
=0,41220=0,1435 г.
По таблицам распределения Стьюдента находим значение tn;P квантиля распределения Стьюдента при доверительной вероятности P=0,95 и числе измерений n=5:
tn;P=t5;0,95=2,77.
Абсолютная погрешность:
∆m=±t5;0,95*σm=±2,77*0,1435=0,4 г.
Обрабатываем прямые измерения диаметра:
Таблица 4.2
di
di-d
di-d2
50,5 0,36 0,1296
50,7 0,56 0,3136
49,7 -0,44 0,1936
49,8 -0,34 0,1156
50,0 -0,14 0,0196
di=250,7
di-d2=0,772
d=1ni=1ndi=15i=15di=250,75=50,14 мм.
σd=1n*n-1i=1ndi-d2=15*5-1i=15di-50,142=
=0,77220=0,1965 мм.
Абсолютная погрешность:
∆d=±t5;0,95*σd=±2,77*0,1965=0,54 мм.
Обрабатываем прямые измерения высоты:
Таблица 4.3
hi
hi-h
hi-h2
20,7 0 0
20,3 -0,4 0,16
20,6 -0,1 0,01
20,9 0,2 0,04
21,0 0,3 0,09
hi=103,5
hi-h2=0,3
h=1ni=1nhi=15i=15hi=103,55=20,7 мм.
σh=1n*n-1i=1nhi-h2=15*5-1i=15hi-20,72=
=0,320=0,1225 мм.
Абсолютная погрешность:
∆h=±t5;0,95*σh=±2,77*0,1225=0,34 мм.
Итак, расчетная зависимость косвенного метода измерения плотности имеет вид:
ρ=4*mπ*d2*h
Прологарифмируем левую и правую части заданной зависимости:
lnρ=ln4+lnm-lnπ-lnd2-lnh=ln4+lnm-lnπ-2*lnd-lnh.
Найдем дифференциал правой и левой частей:
dlnρ=dln4+dlnm-dlnπ-2*dlnd-dlnh.
С учетом того, что dln4=dlnπ=0 получаем:
dlnρ=dlnm-2*dlnd-dlnh.
Учитывая, что дифференциал от логарифма переменной величины находится по формуле:
dlnx=dlnxdx*dx=dxx,
будем иметь
dρρ=dmm-2*ddd-dhh.
Произведем широко известную в теории погрешностей замену дифференциалов малыми абсолютными приращениями (при условии, что абсолютные погрешности достаточно малы), то есть
dρ=∆ρ, dm=∆m, dd=∆d, dh=∆h.
Тогда:
∆ρρ=∆mm-2*∆dd-∆hh.
Учитывая, что знаки погрешностей ∆ρ, ∆m, ∆d, ∆h заранее неизвестны, для получения гарантированной (предельной) оценки относительной погрешности косвенного измерения y в последней формуле все знаки "-" заменим на знаки "+"