Найти общий интеграл (общее решение) ДУ:y2-2xydx+x2dy=0

Перепишем уравнение, учитывая, что:
y'=dydx
Получаем:
x2dy=-y2-2xydx
x2dydx=-y2-2xydxdx
x2y'=-(y2-2xy)
Перед нами однородное дифференциальное уравнение первого порядка, для его решения сделаем следующую замену:
y=tx
Тогда первая производная от данного выражения:
y'=t'x+t
Подставляем:
x2t'x+t=-t2x2-2x2t
x2t'x+t=2x2t-t2x2
x2t'x+t=x2(2t-t2)
t'x+t=2t-t2
t'x=2t-t2-t
t'x=t-t2
Получили уравнение с разделяющимися переменными, разделим переменные и проинтегрируем обе части:
xdtdx=t-t2
dtt-t2=dxx
lnt-ln1-t=lnx+C
lnt1-t=lnx+C
t1-t=x+C
Выразим t отсюда, получим:
t=xC+x
Теперь делаем обратную замену:
y=tx→t=yx
Получим, что общее решение исходного дифференциального уравнения выглядит так:
y=x2C+x
Сделаем проверку того, что общее решение найдено правильно, для этого найдём первую производную от полученного выражения:
y'=x2C+x'=2xC+x-x2C+x2
Подставляем в уравнение исходное:
x2y'=-y2-2xy=2xy-y2
Получаем, что:
x2*2xC+x-x2C+x2=2x*x2C+x-x2C+x2
2x3C+x-x4C+x2=2x3C+x-x4C+x2
Получено верное равенство, поэтому делаем вывод, что общее решение найдено правильно.