Найти общий интеграл (общее решение) ДУ:4xy+5dy-y2dx=0

4xy+5dy=y2dx
4xy+5dy=y2dxdy
4xy+5=y2x'
x'y2-4xy=5
Сделаем замену:
x=uv, x'=u'v+uv'
Тогда:
y2*u'v+uv'-4uvy=5
y2u'v+y2uv'-4uvy=5
y2u'v+uy2v'-4vy=5
Получаем систему уравнений:
y2v'-4vy=0y2u'v=5
Решим первое уравнение системы:
y2v'-4vy=0
y2dvdy=4vy
dvv=4yy2dy
dvv=4dyy
lnv=4lny
lnv=lny4
v=y4
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и решим его:
y6u'=5
du=5y6dy
du=5y-6dy
u=5*y-5-5+C=-y-5+C=-1y5+C
Тогда делаем обратную замену и получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:
x=uv=y4*-1y5+C=Cy4-1y