Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y'''-4y'=0Для этого определим корни характеристического уравнения: λ3-4λ=0=>λλ2-4=0=>λ1=-2,λ2=2,λ3=0
Следовательно, y0=C1e-2x+C2e2x+C3 .
Видно, что правая часть представляет собой сумму двух функций. Согласно принципу суперпозиции, частное решение можно представить в виде:y(x)=y1(x)+y2(x)+y3(x),где y1(x) − частное решение дифференциального уравнения y'''-4y'=24e2x,  y2(x) − частное решение дифференциального уравнния y'''-4y'=8sin2x-4cos2x .
Сначала определим частное решение для 24e2x. В данном случае мы будем искать решение в форме
y1=Axe2x1
Вычисляем производные:
y1'x=Ae2x+2Axe2x=e2xA+2Ax,
y1''x= e2x2A+4Ax+2A=e2x4A+4Ax
y1'''x=e2x8A+8Ax+4A=e2x12A+8Ax
Подставляем в соответствующее дифференциальное уравнение:
e2x12A+8Ax-4e2xA+2Ax=24e2x=>8Ae2x=24e2x
Находим коэффициенты:
8A=24=>A=3.
Тогда получаем:
y1=3xe2x.
Определим частное решение для 8sin2x-4cos2x. В данном случае мы будем искать решение в форме
y2=Bsin2x+Acos2x2
Вычисляем производные:
y1'x=2Bcos2x-2Asin2x,
y1''x= -4Bsin2x-4Acos2x
y1'''x=-8Bcos2x+8Asin2x
Подставляем в соответствующее дифференциальное уравнение:
=-8Bcos2x+8Asin2x-42Bcos2x-2Asin2x=8sin2x-4cos2x
16Asin2x-16Bcos2x=8sin2x-4cos2x
Находим коэффициенты:
16A=8-16B=-4=>A=12B=14
Тогда получаем:
y2=cos2x2+sin2x4.
В результате, общее решение исходного неоднородного уравнения определяется выражением
y=y0+y1+y2=C1e-2x+C2e2x+C3+3xe2x+cos2x2+sin2x4.
Ответ: y=C1e-2x+C2e2x+C3+3xe2x+cos2x2+sin2x4.