Найти общий интеграл дифференциального уравнения xy'=3y3+4yx22y2+2x2

Положим yx=u, тогда y=xu, y'=u'x+u, . Подставляя в данное уравнение, получим:
xu'x+u=3xu3+4ux32xu2+2x2=>u'x=3u3+4u2u2+2-u=>u'x=u3+2u2u2+1
т.е. получили уравнение с разделяющимися переменными .
Разделяем переменные:
2u2+1uu2+2du=dxx
Интегрируем обе части последнего равенства:
2u2+1uu2+2du=dxx
u2+1uu2+2=Au+Bu+Cu2+2u2+1=A+Bu2+Cu+Au2uu0B+A=1C=02A=1=>A=12, B=12,C=0u2+1uu2+2=
212u+u2u2+2du=dxx
214lnu2+2+12lnu=lnx+C1,
12lnu2+2+lnu=lnx+C1=>u2+2=eC1xu=>u4+2u2=e2C1x2
=>u=-1±e2C1x2+1 или u=--1±e2C1x2+1
Учитывая, что u =yx, получаем:
yx=-1±e2C1x2+1=>y=x-1±Cx2+1 или
yx=-x-1±Cx2+1=>y=-x-1±Cx2+1общий интеграл данного дифференциального уравнения.
Ответ:y=x-1±Cx2+1 , y=-x-1±Cx2+1.