Найти общее решение уравнения: y''-10y'+25y =e5x

Составим и решаем характеристическое уравнение:
k2-10k+25 =0;k-52=0; k1= k2=5.
Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения можно записать в виде:
yодн= C1e5x+C2xe5x.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
yн= Ax2e5x, тогда
yн'= 2Axe5x+5Ax2e5x=5Ax2+2Axe5x;
yн''= 10Ax+2Ae5x+25Ax2+10Axe5x=25Ax2+20Ax+2Ae5x.
Подставляем в исходное уравнение, сократив на e5x:
25Ax2+20Ax+2A-50Ax2-20Ax+25Ax2=1, отсюда А=12.
Следовательно, yн= 12x2e5x.
Запишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
y= yодн+ yн=C1+C2x+12x2e5x.