Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2-4k+4=0
k-22=0
k1,2=2
Так как получились одинаковые действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
Y=C1e2x+C2xe2x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Ax2+Bx+C
Найдём первую и вторую производные от данного выражения:
y'=2Ax+B
y''=2A
Подставим в уравнение данные замены:
2A-8Ax-4B+4Ax2+4Bx+4C=8x2-1
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
4A=8-8A+4B=02A-4B+4C=-1
Решив данную систему, получим, что:
A=2;B=4;C=114
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=2x2+4x+114
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=Y+y=C1e2x+C2xe2x+2x2+4x+114