Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Y''+2y'-8y=6e-4x,
Сначала решаем однородное уравнение y''+2y'-8y=0. Составляем характеристическое уравнение:
k2+2k-8=0
k1,2=-2±22-4∙1∙-82∙1=-2±62⟹k1=-4; k2=2.
Корни характеристического уравнения действительные и разные, тогда решение однородного уравнения примет вид:
yоднx=C1e-4x+C2e2x.
Решаем неоднородное уравнение y''+2y'-8y=6e-4x . Проверяемое в этом случае число z=α=-4 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение, повторив в общем виде правую часть уравнения, дополнительно умножается на x, то есть
yчаст=Axe-4x.
Вычислим производные функции yчаст=Axe-4x:
yчаст'=Ae-4x-4Axe-4x
yчаст''=-4Ae-4x-4Ae-4x+16Axe-4x=-8Ae-4x+16Axe-4x
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение и определяем коэффициент A:
-8Ae-4x+16Axe-4x+2Ae-4x-4Axe-4x-8Axe-4x=6e-4x
-6Ae-4x=6e-4x⟹A=-1⟹yчаст=-xe-4x.
Тогда общее решение уравнения:
yx=yоднx+yчаст=C1e-4x+C2e2x-xe-4x.