Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Сначала решаем однородное уравнение y''+4y'+4y=0. Составляем характеристическое уравнение:
k2+4k+4=0
k1,2=-4±42-4∙1∙42∙1=-2.
Корни характеристического уравнения действительные и кратные, тогда решение однородного уравнения примет вид:
yоднx=C1e-2x+C2xe-2x.
Решаем неоднородное уравнение y''+4y'+4y=8x2-12x . Проверяемое в этом случае число α=0 не совпадает с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение имеет вид:
yчаст=Ax2+Bx+C.
Вычислим производные функции yчаст=Ax2+Bx+C:
yчаст'=2Ax+B; yчаст''=2A.
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение и определяем коэффициенты:
2A+42Ax+B+4Ax2+Bx+C=8x2-12x
2A+4B+4C+8A+4Bx+4Ax2=8x2-12x
4A=88A+4B=-122A+4B+4C=0⟹A=2B=-7C=6⟹yчаст=2x2-7x+6.
Тогда общее решение уравнения:
yx=yоднx+yчаст=C1e-2x+C2xe-2x+2x2-7x+6.
Ответ: yx=C1e-2x+C2xe-2x+2x2-7x+6.