Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения xy'- 2y +x2=0

Преобразование y'(x) = dydx
xdydx -2y+x2 = 0
Приведение к однородному заменой y = zλ Найдем λ подставив x = z и y = zλприравняв степени z: λzλ-2zλ+z2=0
2 = λ=λ ; λ=2
Подстановка y = z2
dy = 2zdz
2xzdzdx - 2z2+x2=0
Умножаем на дифференциал dx
2x z dz + (x2 – 2z2) dx = 0
Группировка по дифференциалам
2x z dz = (2z2 – x2) dx
Подстановка
u = zx ; z = ux
dz = u dx + x du
2u∙x2(udx+xdu)=(2u2 -1) x2 dx
Делим на x2
2u (u dx + x du) = (2 u2 – 1)dx
Группировка по дифференциалам
2 u x dx = -dx
Делим на 2x
u du = - dx2x;
Интегрируем обе части уравнения
u du=-12x dx
Вычисляем полученные интегралы
u2 = С – ln(x)
Обратная замена
u = zx
z2x2=C-lnx
Обратная замена
z = y
yx2 = C – lnx
y = C ∙x2 – x2 ∙lnx
Ответ: y = C ∙x2 – x2 ∙lnx.