Найти общее решение. ДУ x+1y''=27y' y0=128

Данное уравнение в явном виде не содержит переменную y. Поэтому, для его решения сделаем следующую замену:
y'=p(x)
Тогда:
y''=p'(x)
Подставляем в исходное уравнение данные замены:
x+1p'=27p
dpp=27dxx+1
lnp=27lnx+1+C1
lnp=lnC1x+127
p=C1x+127
Воспользуемся вторым начальным условием:
y'0=C1=1
Тогда:
y'=p=x+127
y=x+127dx=128x+128+C2
Теперь используем первое начальное условие:
y0=128+C2=128
C2=128-128=0
Тогда искомое частное решение выглядит так:
y=128x+128